CN101872182A - 一种基于递推非线性部分最小二乘的间歇过程监控方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于递推非线性部分最小二乘的间歇过程监控方法。传统方法都是采用固定的统计模型和控制限，不能及时进行模型更新从而跟踪过程的变化，从而产生漏报和误报的情况。本发明方法首先基于过程数据库建立基于非线性部分最小二乘的间歇过程监控模型，同时计算控制限，然后将建立的模型应用到在线采集的工业过程数据，对间歇过程进行监控。当获得新批次的数据后，采用递推方法对模型和控制限进行更新，从而适应间歇过程的变化。本发明方法弥补了传统非线性多变量统计过程监控方法不能处理时变性的不足，可以利用新批次数据更新模型参数和控制限，从而适应间歇过程的变化，提高了监控性能。

Description

一种基于递推非线性部分最小二乘的间歇过程监控方法

技术领域

本发明属于信息技术领域，涉及一种基于递推非线性部分最小二乘的间歇过程监控方法。

背景技术

随着敏捷制造技术的推广，适用于生产小批量高附加值产品的间歇过程已越来越多的受到重视。在间歇过程中，很多质量指标不能在线测量，通常是在一个批次结束后，根据产品采样分析值判断最后的产品质量好坏。为了更好的控制产品质量，需要对间歇过程建立过程监控模型，根据在线测量的控制操作变量对产品质量进行监控，从而确定生产状态是否正常，出现异常工况时能及时采取相应的补救措施，减少生产停车时间，最大限度地保障***的安全性和可靠性。随着自动化、计算机网络及数据库技术的发展，工厂可以直接从生产过程获得大量的实时运行数据。但是要从观测数据中实现对过程运行情况的评估，已超出了工程师或操作员的能力范围。基于数据驱动的多变量统计过程监控技术不依赖对象的解析模型，而充分利用工厂丰富的数据资源，可以有效的处理数据量大、数据维数高、数据共线性等问题，在工业上得到广泛应用。间歇过程通常具有较强的非线性，并且随着时间推移，对象的特性和工作点都可能发生变化。传统的非线性多变量统计过程监控方法都是采用固定的统计模型和控制限，当过程特征或操作条件发生变化时不能及时进行模型更新从而跟踪过程的变化，从而产生漏报和误报的情况。因此，迫切需要一种既能处理过程非线性又能处理时变性的间歇过程监控方法。

发明内容

本发明的目的就是针对现有的过程监控技术的不足之处，提供一种基于递推非线性部分最小二乘的间歇过程监控方法。该方法弥补了传统非线性多变量统计过程监控方法不能处理时变性的不足，可以利用新数据更新模型参数和控制限，从而适应过程特性的变化，提高了监控性能。

本发明方法采用数据采集、过程辨识、数据驱动等手段，首先基于过程数据库建立基于非线性部分最小二乘的过程监控模型，同时计算控制限，然后将建立的模型应用到在线采集的实时工业过程数据，对过程进行监控。获得新数据后，采用递推方法对模型和控制限进行更新，从而适应过程的变化。

本发明方法的具体步骤是：

步骤(1)基于过程数据库建立非线性部分最小二乘(NLPLS)过程监控模型，同时计算控制限。具体方法是：

a.通过数据采集装置采集过程运行数据，将采集的过程运行数据作为数据驱动的样本集合，用于建立模型。间歇过程中，每个批量过程多次重复性生产，其数据集合比连续过程数据集合多一维“批次”元素，具有序贯性。因此间歇生产过程的数据集合以三维数据阵形式(批次×时间×变量)表示，X(I×J×K)表示采集到的所有过程数据，其中，I表示批次个数，J表示采样样本个数，K表示过程变量个数；质量变量一般在过程结束时通过离线分析得到，每一个批次得到M个质量变量分析值，I个批次的质量变量构成矩阵Y(I×M)。

建模时，首先将三维数据块X沿时间轴方向切割批次和变量数据块，每个数据块依次向右水平排列，将每个批次的数据看作一个数据样本，形成一个新的二维矩阵X(I×JK)。然后将矩阵X作为输入矩阵，Y作为输出矩阵用于建立模型。其中，每一批次的数据对表示为{x(i)}和{y(i)}，x(i)表示第i批次输入数据，y(i)表示第i批次输出数据。将输入数据构成输入矩阵X、将输出数据构成输出矩阵Y；

b.基于输入输出数据建立非线性部分最小二乘模型，方法是：

对矩阵X和Y进行归一化处理，使之均值为0，方差为1；然后将输入矩阵进行列扩展，扩展项为径向基函数(RBF)神经网络的隐节点输出矩阵G和元素全为1的列向量1，其中G的每一行对应一个输入向量作用下的隐节点的输出g，隐节点的偏置项系数为1；对如下增广输入矩阵和输出矩阵进行部分最小二乘(PLS)回归：

{[1  X  G]，Y}，得到的NLPLS过程监控模型表示为：

$\hat{Y}=\mathrm{XA}+\mathrm{GH}+1b^T=\left[1\mathrm{X\; G}\right]\left[\begin{array}{c}{b}^T\\ A\\ H\end{array}\right]=X_E\mathrm{\β}$

式中，X_E表示增广输入矩阵，A和H分别为对应原始输入向量和对应RBF网络隐节点输出向量的权值系数矩阵，b为输出偏置向量，T表示转置。

NLPLS过程监控模型中的未知参数为隐节点中心向量c、相应宽度向量σ、权值系数矩阵A与H、模型偏置向量b，这些参数按如下步骤确定：

①用k-means聚类算法对输入数据进行聚类，得到隐节点中心c；该算法能确定最优的聚类中心数，同时可使聚类中心合理地分布在数据空间中；

②采用p近邻规则计算隐节点宽度：

${\mathrm{\σ}}_j=\sqrt{\frac{1}{p}\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|c_i-c_j\left|\right|}^2},j=1,\·\·\·,N$

其中N为隐节点中心的个数，c_i为距离第j个隐节点中心最近的p个隐节点中心。

③采用PLS回归确定权值系数矩阵A、H和偏置向量b：

根据得到的隐节点中心和宽度计算隐节点输出矩阵G，然后对输入矩阵进行扩展，得到增广输入矩阵[1  X  G]。对数据对{[1  X  G]，Y}进行PLS回归，得到PLS模型参数矩阵{T，W，P，B，Q}。为了在后面的模型更新中保留所有的信息，提取特征变量个数等于增广输入矩阵[1  X  G]的秩，而最终用于预测的模型所保留的特征向量个数a采用交叉校验法确定，得到的参数矩阵记为{Ta，Wa，Pa，Ba，Qa}，由它们计算出PLS回归系数矩阵β，从而得到A，H和b。

c.计算统计量SPE的控制限。SPE在每个批次的值是一个标量，它刻画了该批次测量值x(i)和y(i)对主元模型的偏离程度。当用PLS算法得到模型后，对第i批次其SPE值为：

${\mathrm{SPE}\left(i\right)}_X={e\left(i\right)}_X^2=\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{(x{\left(i\right)}_j-\hat{x}{\left(i\right)}_j)}^2)$

${\mathrm{SPE}\left(i\right)}_Y={e\left(i\right)}_Y^2=\underset{j=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{(y{\left(i\right)}_j-\hat{y}{\left(i\right)}_j)}^2)$

表示第i个批次过程变量的模型计算值，表示第i个批次质量变量的模型计算值，SPE控制限Q_a按下式计算：

$Q_a={\mathrm{\θ}}_1{[\frac{C_a\sqrt{{2\mathrm{\θ}}_2{h}_0^2}}{{\mathrm{\θ}}_1}+1+\frac{{\mathrm{\θ}}_2{h}_0(h_0-1)}{{\mathrm{\θ}}_1^2}]}^{\frac{1}{h_0}}$

其中：

${\mathrm{\θ}}_i=\underset{j=k+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_j^i(i=\mathrm{1,2,3})$

λ_j＝‖t_i‖²

$h_0=1-\frac{{2\mathrm{\θ}}_1{\mathrm{\θ}}_3}{3{\mathrm{\θ}}_2^2}$

t_i为保留的第i个特征向量，C_α是正态分布在检验水平为α下的临界值，C_α与h₀同号，k是主元模型中所保留的主元个数，n是全部主元个数。

步骤(2)将建立的NLPLS过程监控模型应用到在线采集的实时工业过程数据，计算新来数据的SPE值，并与控制限Q_α进行比较：若SPE≥Q_α，说明过程出现了异常；若SPE＜Q_α，说明过程正常，利用步骤(3)的方法对NLPLS过程监控模型进行更新，同时更新控制限Q_α。

步骤(3)利用新数据结合原来的NLPLS过程监控模型，采用递推非线性部分最小二乘算法对模型进行更新，同时更新控制限Q_α，具体方法是：

设经过k-1个批次后得到的NLPLS过程监控模型中，RBF网络隐节点中心矩阵为

每一行对应一个中心向量，相应宽度向量为

每一元素对应一个隐节点的宽度，{W(k-1)，P(k-1)，B(k-1)，Q(k-1)}为PLS模型参数矩阵，第k个批次结束后，得到新的输入输出变量x(k)和y(k)；

a.采用与步骤(1)中相同的方法对新数据进行数据预处理。计算原NLPLS模型隐节点对于新样本x(k)的输出向量，记为g(k)。

b.判断是否增加新的隐节点：

如果g(k)的所有元素都小于设定值，则加入新的隐节点。新的隐节点中心取为x(k)，相应的宽度σ采用最近邻规则计算：

σ＝z_c-ησ_c

其中，z_c为x(k)到最近的隐节点中心的距离，η为重叠参数，取值范围为[0，1]，σ_c为离x(k)最近的隐节点的宽度，从而得到新的隐节点中心矩阵和宽度向量：

$C_g^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c}{C}_g^{(k-1)}\\ x^{\left(k\right)T}\end{array}\right],$ ${\mathrm{\σ}}_g^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_g^{(k-1)}\\ \mathrm{\σ}\end{array}\right]$

同时对参数矩阵P(k-1)和向量g(k)扩展如下：

$P(k-1)=\left[\begin{array}{c}P(k-1)\\ 0\end{array}\right],$ $g\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}g\left(k\right)\\ 1\end{array}\right]$

式中，0为全部元素都为0的行向量。

如果g(k)的所有元素都大于等于设定值，则不需要增加隐节点，C_g、σ_g、P、g保持不变。

c.对x(k)进行扩展，得到增广输入向量：x_E(k)^T＝[1x(k)^Tg(k)^T]。

d.将新数据x_E(k)和y(k)与旧PLS模型参数矩阵结合，然后进行PLS回归，形式如下：

$X\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{P(k-1)}^T\\ x_E{\left(k\right)}^T\end{array}\right],$ $Y\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{B(k-1)Q(k-1)}^T\\ {y\left(k\right)}^T\end{array}\right]$

按照步骤(1)中步骤③方法，计算得到PLS回归参数A(k)，H(k)和b(k)。保存新的模型参数

供预测和下一次模型更新时使用。

步骤(4)基于新的NLPLS过程监控模型参数计算新的控制限Q_α，用于新的数据，返回步骤(2)。

本发明提出的基于递推非线性部分最小二乘的间歇过程监控方法，不依赖对象的解析模型，充分利用工厂丰富的数据资源，有效的处理数据量大、数据维数高、数据共线性等问题，该方法弥补了传统的非线性多变量统计过程监控方法采用固定的统计模型和控制限所产生的漏报和误报的问题，可以利用新数据更新模型参数和控制限，从而适应过程特性的变化，既能处理过程非线性又能处理时变性，提高了监控性能。

具体实施方式

一种基于递推非线性部分最小二乘的间歇过程监控方法，具体步骤是：

步骤(1)基于过程数据库建立非线性部分最小二乘(NLPLS)过程监控模型，同时计算控制限。具体方法是：

a.通过数据采集装置采集过程运行数据，将采集的过程运行数据作为数据驱动的样本集合，用于建立模型。间歇过程中，每个批量过程多次重复性生产，其数据集合比连续过程数据集合多一维“批次”元素，具有序贯性。因此间歇生产过程的数据集合以三维数据阵形式(批次×时间×变量)表示，X(I×J×K)表示采集到的所有过程数据，其中，I表示批次个数，J表示采样样本个数，K表示过程变量个数；质量变量一般在过程结束时通过离线分析得到，每一个批次得到M个质量变量分析值，I个批次的质量变量构成矩阵Y(I×M)。

建模时，首先将三维数据块X沿时间轴方向切割批次和变量数据块，每个数据块依次向右水平排列，将每个批次的数据看作一个数据样本，形成一个新的二维矩阵X(I×JK)。然后将矩阵X作为输入矩阵，Y作为输出矩阵用于建立模型。其中，每一批次的数据对表示为{x(i)}和{y(i)}，x(i)表示第i批次输入数据，y(i)表示第i批次输出数据。将输入数据构成输入矩阵X、将输出数据构成输出矩阵Y；

b.基于输入输出数据建立非线性部分最小二乘模型，方法是：

对矩阵X和Y进行归一化处理，使之均值为0，方差为1；然后将输入矩阵进行列扩展，扩展项为径向基函数(RBF)神经网络的隐节点输出矩阵G和元素全为1的列向量1，其中G的每一行对应一个输入向量作用下的隐节点的输出g，隐节点的偏置项系数为1；对如下增广输入矩阵和输出矩阵进行部分最小二乘(PLS)回归：

{[1  X  G]，Y}，得到的NLPLS过程监控模型表示为：

$\hat{Y}=\mathrm{XA}+\mathrm{GH}+1b^T=\left[1\mathrm{X\; G}\right]\left[\begin{array}{c}{b}^T\\ A\\ H\end{array}\right]=X_E\mathrm{\β}$

式中，X_E表示增广输入矩阵，A和H分别为对应原始输入向量和对应RBF网络隐节点输出向量的权值系数矩阵，b为输出偏置向量，T表示转置。

NLPLS过程监控模型中的未知参数为隐节点中心向量c、相应宽度向量σ、权值系数矩阵A与H、模型偏置向量b，这些参数按如下步骤确定：

①用k-means聚类算法对输入数据进行聚类，得到隐节点中心c；

②采用p近邻规则计算隐节点宽度：

${\mathrm{\σ}}_j=\sqrt{\frac{1}{p}\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|c_i-c_j\left|\right|}^2},j=1,\·\·\·,N$

其中N为隐节点中心的个数，c_i为距离第j个隐节点中心最近的p个隐节点中心。

③采用PLS回归确定权值系数矩阵A、H和偏置向量b：

根据得到的隐节点中心和宽度计算隐节点输出矩阵G，然后对输入矩阵进行扩展，得到增广输入矩阵[1  X  G]。对数据对{[1  X  G]，Y}进行PLS回归，得到PLS模型参数矩阵{T，W，P，B，Q}。提取特征变量个数等于增广输入矩阵[1  X  G]的秩，而最终用于预测的模型所保留的特征向量个数a采用交叉校验法确定，得到的参数矩阵记为{Ta，Wa，Pa，Ba，Qa}，由它们计算出PLS回归系数矩阵β，从而得到A，H和b。

c.计算统计量SPE的控制限。SPE在每个批次的值是一个标量，它刻画了该批次测量值x(i)和y(i)对主元模型的偏离程度。当用PLS算法得到模型后，对第i批次其SPE值为：

${\mathrm{SPE}\left(i\right)}_X={e\left(i\right)}_X^2=\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{(x{\left(i\right)}_j-\hat{x}{\left(i\right)}_j)}^2)$

${\mathrm{SPE}\left(i\right)}_Y={e\left(i\right)}_Y^2=\underset{j=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{(y{\left(i\right)}_j-\hat{y}{\left(i\right)}_j)}^2)$

表示第i个批次过程变量的模型计算值，

表示第i个批次质量变量的模型计算值，SPE控制限Q_a按下式计算：

$Q_a={\mathrm{\θ}}_1{[\frac{C_a\sqrt{{2\mathrm{\θ}}_2{h}_0^2}}{{\mathrm{\θ}}_1}+1+\frac{{\mathrm{\θ}}_2{h}_0(h_0-1)}{{\mathrm{\θ}}_1^2}]}^{\frac{1}{h_0}}$

其中：

${\mathrm{\θ}}_i=\underset{j=k+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_j^i(i=\mathrm{1,2,3})$

λ_j＝‖t_i‖²

$h_0=1-\frac{{2\mathrm{\θ}}_1{\mathrm{\θ}}_3}{3{\mathrm{\θ}}_2^2}$

t_i为保留的第i个特征向量，C_α是正态分布在检验水平为α下的临界值，C_α与h₀同号，k是主元模型中所保留的主元个数，n是全部主元个数。

步骤(2)将建立的NLPLS过程监控模型应用到在线采集的实时工业过程数据，计算新来数据的SPE值，并与控制限Q_α进行比较：若SPE≥Q_α，说明过程出现了异常；若SPE＜Q_α，说明过程正常，利用步骤(3)的方法对NLPLS过程监控模型进行更新，同时更新控制限Q_α。

步骤(3)利用新数据结合原来的NLPLS过程监控模型，采用递推非线性部分最小二乘算法对模型进行更新，同时更新控制限Q_α，具体方法是：

设经过k-1个批次后得到的NLPLS过程监控模型中，RBF网络隐节点中心矩阵为

每一行对应一个中心向量，相应宽度向量为每一元素对应一个隐节点的宽度，{W(k-1)，P(k-1)，B(k-1)，Q(k-1)}为PLS模型参数矩阵，第k个批次结束后，得到新的输入输出变量x(k)和y(k)；

a.采用与步骤(1)中相同的方法对新数据进行数据预处理。计算原NLPLS模型隐节点对于新样本x(k)的输出向量，记为g(k)。

b.判断是否增加新的隐节点：

如果g(k)的所有元素都小于设定值，则加入新的隐节点。新的隐节点中心取为x(k)，相应的宽度σ采用最近邻规则计算：

σ＝z_c-ησ_c

其中，z_c为x(k)到最近的隐节点中心的距离，η为重叠参数，取值范围为[0，1]，σ_c为离x(k)最近的隐节点的宽度，从而得到新的隐节点中心矩阵和宽度向量：

$C_g^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c}{C}_g^{(k-1)}\\ x^{\left(k\right)T}\end{array}\right],$ ${\mathrm{\σ}}_g^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_g^{(k-1)}\\ \mathrm{\σ}\end{array}\right]$

同时对参数矩阵P(k-1)和向量g(k)扩展如下：

$P(k-1)=\left[\begin{array}{c}P(k-1)\\ 0\end{array}\right],$ $g\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}g\left(k\right)\\ 1\end{array}\right]$

式中，0为全部元素都为0的行向量。

如果g(k)的所有元素都大于等于设定值，C_g、σ_g、P、g保持不变。

c.对x(k)进行扩展，得到增广输入向量：x_E(k)^T＝[1x(k)^Tg(k)^T]。

d.将新数据x_E(k)和y(k)与旧PLS模型参数矩阵结合，然后进行PLS回归，形式如下：

$X\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{P(k-1)}^T\\ x_E{\left(k\right)}^T\end{array}\right],$ $Y\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{B(k-1)Q(k-1)}^T\\ {y\left(k\right)}^T\end{array}\right]$

按照步骤(1)中步骤③方法，计算得到PLS回归参数A(k)，H(k)和b(k)。保存新的模型参数供预测和下一次模型更新时使用。

步骤(4)基于新的NLPLS过程监控模型参数计算新的控制限Q_α，用于新的数据，返回步骤(2)。

Claims (1)

1.一种基于递推非线性部分最小二乘的间歇过程监控方法，其特征在于该方法的具体步骤是：

步骤(1)基于过程数据库建立非线性部分最小二乘过程监控模型，同时计算控制限；具体方法是：

a.通过数据采集装置采集过程运行数据，将采集的过程运行数据作为数据驱动的样本集合，用于建立模型，以三维数据阵形式表示，X(I×J×K)表示采集到的所有过程数据；其中I表示批次个数、J表示采样样本个数、K表示过程变量个数；每一个批次得到M个质量变量分析值，I个批次的质量变量构成矩阵Y(I×M)；

建模时，首先将三维数据块X沿时间轴方向切割批次和变量数据块，每个数据块依次向右水平排列，将每个批次的数据看作一个数据样本，形成一个新的二维矩阵X(I×JK)；然后将矩阵X作为输入矩阵，Y作为输出矩阵用于建立模型；其中，每一批次的数据对表示为{x(i)}和{y(i)}，x(i)表示第i批次输入数据，y(i)表示第i批次输出数据；将输入数据构成输入矩阵X、将输出数据构成输出矩阵Y；

b.基于输入输出数据建立非线性部分最小二乘模型，方法是：

对矩阵X和Y进行归一化处理，使之均值为0，方差为1；然后将输入矩阵进行列扩展，扩展项为径向基函数神经网络的隐节点输出矩阵G和元素全为1的列向量1，其中G的每一行对应一个输入向量作用下的隐节点的输出g，隐节点的偏置项系数为1；对如下增广输入矩阵和输出矩阵进行部分最小二乘回归：

{[1 X G]，Y}，得到的非线性部分最小二乘过程监控模型表示为：

$\hat{Y}=\mathrm{XA}+\mathrm{GH}+1b^T=\left[\begin{array}{ccc}1& X& G\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}^T\\ A\\ H\end{array}\right]=X_E\mathrm{\β}$

式中，X_E表示增广输入矩阵，A和H分别为对应原始输入向量和对应径向基函数神经网络隐节点输出向量的权值系数矩阵，b为输出偏置向量，T表示转置；

非线性部分最小二乘过程监控模型中的未知参数为隐节点中心向量c、相应宽度向量σ、权值系数矩阵A与H、模型偏置向量b，这些参数按如下步骤确定：

①用k-means聚类算法对输入数据进行聚类，得到隐节点中心c；

②采用p近邻规则计算隐节点宽度：

${\mathrm{\σ}}_i=\sqrt{\frac{1}{p}\underset{i=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{\left|\right|c_i-c_j\left|\right|}^2},j=1,\·\·\·,N$

其中N为隐节点中心的个数，c_i为距离第j个隐节点中心最近的p个隐节点中心；

③采用部分最小二乘回归确定权值系数矩阵A、H和偏置向量b：

根据得到的隐节点中心和宽度计算隐节点输出矩阵G，然后对输入矩阵进行扩展，得到增广输入矩阵[1 X G]；对数据对{[1 X G]，Y}进行部分最小二乘回归，得到部分最小二乘模型参数矩阵{T，W，P，B，Q}；提取特征变量个数等于增广输入矩阵[1 X G]的秩，而最终用于预测的模型所保留的特征向量个数a采用交叉校验法确定，得到的参数矩阵记为{Ta，Wa，Pa，Ba，Qa}，由它们计算出部分最小二乘回归系数矩阵β，从而得到A，H和b；

c.计算统计量SPE的控制限；SPE在每个批次的值是一个标量，它刻画了该批次测量值x(i)和y(i)对主元模型的偏离程度；当用部分最小二乘算法得到模型后，对第i批次其SPE值为：

$\mathrm{SPE}{\left(i\right)}_X=e{\left(i\right)}_X^2=\underset{j=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{(x{\left(i\right)}_j-\hat{x}{\left(i\right)}_j)}^2)$

$\mathrm{SPE}{\left(i\right)}_Y=e{\left(i\right)}_Y^2=\underset{j=1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{(y{\left(i\right)}_j-\hat{y}{\left(i\right)}_j)}^2)$

表示第i个批次过程变量的模型计算值，

表示第i个批次质量变量的模型计算值，SPE控制限Q_a按下式计算：

$Q_a={\mathrm{\θ}}_1{[\frac{C_a\sqrt{2{\mathrm{\θ}}_2{h}_0^2}}{{\mathrm{\θ}}_1}+1+\frac{{\mathrm{\θ}}_2{h}_0(h_0-1)}{{\mathrm{\θ}}_1^2}]}^{\frac{1}{h_0}}$

其中：

${\mathrm{\θ}}_i=\underset{j=k+1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\λ}}_j^i,(i=\mathrm{1,2,3})$

λ_j＝‖t_i‖²

$h_0=1-\frac{2{\mathrm{\θ}}_1{\mathrm{\θ}}_3}{3{\mathrm{\θ}}_2^2}$

t_i为保留的第i个特征向量，C_α是正态分布在检验水平为α下的临界值，C_α与h₀同号，k是主元模型中所保留的主元个数，n是全部主元个数；

步骤(2)将建立的非线性部分最小二乘过程监控模型应用到在线采集的实时工业过程数据，计算新来数据的SPE值，并与控制限Q_α进行比较：若SPE≥Q_α，说明过程出现了异常；若SPE＜Q_α，说明过程正常，利用步骤(3)的方法对非线性部分最小二乘过程监控模型进行更新，同时更新控制限Q_α；

步骤(3)利用新数据结合原来的非线性部分最小二乘过程监控模型，采用递推非线性部分最小二乘算法对模型进行更新，同时更新控制限Q_α，具体方法是：

设经过k-1个批次后得到的非线性部分最小二乘过程监控模型中，径向基函数神经网络隐节点中心矩阵为每一行对应一个中心向量，相应宽度向量为

每一元素对应一个隐节点的宽度，{W(k-1)，P(k-1)，B(k-1)，Q(k-1)}为部分最小二乘模型参数矩阵，第k个批次结束后，得到新的输入输出变量x(k)和y(k)；

a.采用与步骤(1)中相同的方法对新数据进行数据预处理；计算原非线性部分最小二乘过程监控模型隐节点对于新样本x(k)的输出向量，记为g(k)；

b.判断是否增加新的隐节点：

如果g(k)的所有元素都小于设定值，则加入新的隐节点；新的隐节点中心取为x(k)，相应的宽度σ采用最近邻规则计算：

σ＝z_c-ησ_c

其中，z_c为x(k)到最近的隐节点中心的距离，η为重叠参数，取值范围为[0，1]，σ_c为离x(k)最近的隐节点的宽度，从而得到新的隐节点中心矩阵和宽度向量：

$C_g^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c}{C}_g^{(k-1)}\\ x^{\left(k\right)T}\end{array}\right],{\mathrm{\σ}}_g^{\left(k\right)}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\σ}}_g^{(k-1)}\\ \mathrm{\σ}\end{array}\right]$

同时对参数矩阵P(k-1)和向量g(k)扩展如下：

$P(k-1)=\left[\begin{array}{c}P(k-1)\\ 0\end{array}\right],g\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}g\left(k\right)\\ 1\end{array}\right]$

式中，0为全部元素都为0的行向量；

如果g(k)的所有元素都大于等于设定值，C_g、σ_g、P、g保持不变；

c.对x(k)进行扩展，得到增广输入向量：x_E(k)^T＝[1x(k)^Tg(k)^T]；

d.将新数据x_E(k)和y(k)与旧部分最小二乘模型参数矩阵结合，然后进行部分最小二乘回归，形式如下：

$X\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}P{(k-1)}^T\\ x_E{\left(k\right)}^T\end{array}\right],Y\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}B(k-1)Q{(k-1)}^T\\ y{\left(k\right)}^T\end{array}\right]$

按照步骤(1)中步骤③方法，计算得到部分最小二乘回归参数A(k)，H(k)和b(k)；保存新的模型参数{A(k)，H(k)，b(k)，P(k)，B(k)，Q(k)，

}供预测和下一次模型更新时使用；

步骤(4)基于新的非线性部分最小二乘过程监控模型参数计算新的控制限Q_α，用于新的数据，返回步骤(2)。