CN101701902A - 泡沫沥青膨胀率和半衰期的理论测算方法 - Google Patents

Abstract

一种泡沫沥青膨胀率和半衰期的理论测算方法，包括：使用容器壁四周设立标尺的容器，按照常规测量方法做实验，同时对实验的过程进行录像；根据实验录像采集实验数据，即多组不同时间点泡沫沥青在标尺上的显示值；将选取的实验数据与泡沫沥青的测量衰退方程进行拟合，以拟合精度高的衰退方程为准，确定理论衰退方程中的参数，进而得到泡沫沥青的真实膨胀率和半衰期。由于采用了上述方法，本发明在测算泡沫沥青理论膨胀率和半衰期时考虑了膨胀和衰减在时空上并行发生的机理，有效地解决泡沫沥青的瞬态特征评价问题，对于指导泡沫沥青冷再生技术工程应用具有很强的指导意义。

Description

泡沫沥青膨胀率和半衰期的理论测算方法

技术领域

本发明属于道路工程领域，涉及一种关于泡沫沥青膨胀率和半衰期的理论测算方法。

背景技术

目前主要用最大膨胀率和半衰期两个指标配合对沥青的发泡效果加以评价。最大膨胀率是指沥青在发泡状态下测量的最大体积与未发泡状态下的体积之比，半衰期是指泡沫沥青从最大体积衰减到该体积一半所用的时间。这两个参数在实际工程应用质量控制中极为重要，为了使泡沫沥青与翻腾的集料充分接触，形成良好的裹覆作用，膨胀率越大，拌制的泡沫混合料质量越好，同样，半衰期越长，说明泡沫沥青越不容易衰减，可以与集料有较长时间的接触与拌和，提高泡沫沥青混合料的质量。所以，获取泡沫沥青真实的膨胀率和半衰期是指导泡沫沥青冷再生技术工程应用的基础。

目前沥青发泡膨胀率的测算，是在沥青发泡喷射结束之后，以下式计算获得。

$\mathrm{ER}=\frac{V}{v}=\frac{{{\∫}_{t-T}}^{t}f\left(x\right)\mathrm{dx}/T}{v}---\left(1\right)$

式中，ER为测量到的最大膨胀率，V为泡沫沥青体积，v为沥青体积，t为从喷射开始到测量的时间，T为喷射时间，f(x)为泡沫沥青随时间的衰减方程。

但是，从泡沫沥青发生过程的时间和空间考虑，在沥青实现发泡的同时，已有的泡沫沥青的体积可能正在衰减。因此，公式(1)沥青发泡膨胀率的测算结果与泡沫沥青的喷射时间相关。由于公式(1)未反映在沥青发泡过程中泡沫沥青的膨胀和衰减在时空间上并行发生的机理，也难以真实地表达沥青发泡的真实状态。可见，实现泡沫沥青膨胀率和半衰期的理论测算方法需要解决泡沫沥青的瞬态特征评价问题。

发明内容

为真实表征泡沫沥青性能的理论膨胀率和半衰期，本发明提出综合两类泡沫沥青的衰减方程，通过其相关系数的误差分析，提出基于实验数据的泡沫沥青膨胀率和半衰期的理论测算方法。最后通过沥青发泡物理实验的实际测算，得到泡沫沥青理论膨胀率和半衰期及其理论衰减曲线。

为实现上述目的，本发明的解决方案是：

一种泡沫沥青膨胀率和半衰期的理论测算方法，包括：使用容器壁四周设立标尺的容器，按照常规测量方法做实验，同时对实验的过程进行录像；

根据实验录像采集实验数据，即多组不同时间点泡沫沥青在标尺上的显示值；

将选取的实验数据与泡沫沥青的测量衰退方程进行拟合，以拟合精度高的衰退方程为准，

确定理论衰退方程中的参数，进而得到泡沫沥青的真实膨胀率和半衰期。

所述泡沫沥青的理论衰退方程为第一类泡沫沥青衰减方程和第二类泡沫沥青衰减方程，

所述泡沫沥青的测量衰退方程为第一类泡沫沥青测量衰减方程和第二类泡沫沥青测量衰减方程：

第一类泡沫沥青被喷出后几秒钟后其膨胀率达到最大值，然后再逐渐减少，第一类泡沫沥青衰减方程为

ER₁(t)＝(α₁+β₁t)γ₁ ^t+δ₁(t≥0)

(其中：ER1(t)为随时间变化的膨胀率；α1，β1控制着曲线的最大值及最大值出现的时间；γ1控制着拐点的位置(-1＜γ1＜1)；δ1控制衰退曲线的渐近线，代表泡沫沥青趋于稳定后的膨胀率(ER(∞))；α1+δ1则代表泡沫沥青喷出瞬间的膨胀率(ER(0))。)

在0＜t＜T_S时，第一类泡沫沥青测量衰减方程为

$\mathrm{ERm}1\left(t\right)=\frac{1}{t}\×({\mathrm{\α}}_1\frac{{\mathrm{\γ}}_1^t}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}-{\mathrm{\α}}_1\frac{1}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}+{\mathrm{\δ}}_{1}t+\frac{{\mathrm{\β}}_1}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}t\×{\mathrm{\γ}}_1^t-\frac{{\mathrm{\β}}_1\×{\mathrm{\γ}}_1^t}{\ln {\mathrm{\γ}}_1\×\ln {\mathrm{\γ}}_1}+\frac{{\mathrm{\β}}_1}{\ln {\mathrm{\γ}}_1\×\ln {\mathrm{\γ}}_1})$

(式中，ER_m1(t)为0～t时间内测量膨胀率。)

在T_S＜t时，第一类泡沫沥青测量衰减方程为

$\mathrm{ERm}2\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{Ts}}\×({\mathrm{\α}}_1\frac{{\mathrm{\γ}}_1^t}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}-{\mathrm{\α}}_1\frac{{\mathrm{\γ}}_1^{t-\mathrm{Ts}}}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}+\mathrm{Ts}\×{\mathrm{\δ}}_1+\frac{{\mathrm{\β}}_1}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}(t\×{\mathrm{\γ}}_1^t-(t-\mathrm{Ts})\×{\mathrm{\γ}}_1^{t-\mathrm{Ts}})-\frac{{\mathrm{\β}}_1\×({\mathrm{\γ}}_1^t-{\mathrm{\γ}}_1^{t-\mathrm{Ts}})}{\ln {\mathrm{\γ}}_1\×\ln {\mathrm{\γ}}_1})$

(式中，ER_m2(t)为T_S之后的测量膨胀率)；

第二类泡沫沥青被喷出的瞬间便达到最高膨胀率，此后膨胀率逐渐减少直至趋于稳定，喷射过程中不出现峰值，第二类泡沫沥青衰减方程为

$\mathrm{ER}2\left(t\right)=\mathrm{ER}2+\mathrm{\α}2\×e^{(-t/{\mathrm{\β}}_2)},(t\≥0)$

(其中的ER2(t)为随时间变化的膨胀率；ER2为衰退曲线的渐进线，代表泡沫沥青趋于稳定后的膨胀率(ER(∞))；α2为变化幅度；β2为表示衰退速率的衰退常数；α2+ER2代表泡沫沥青喷出瞬间的膨胀率(ER(0))。)

在0＜t＜T_S时，第二类泡沫沥青测量衰减方程为

$\mathrm{ERm}1\left(t\right)=\frac{1}{t}\×(t\×{\mathrm{ER}}_2-{\mathrm{\α}}_2\×{\mathrm{\β}}_2\×e^{-t/{\mathrm{\β}}_2}+{\mathrm{\α}}_2\×{\mathrm{\β}}_2)$

(式中，ER_m1(t)为0～t时间内测量膨胀率。)

在T_S＜t时，第二类泡沫沥青测量衰减方程为

$\mathrm{ERm}2\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{Ts}}\×(\mathrm{Ts}\×{\mathrm{ER}}_2-{\mathrm{\α}}_2\×{\mathrm{\β}}_2\×e^{-t/{\mathrm{\β}}_2}+{\mathrm{\α}}_2\×{\mathrm{\β}}_2\×e^{(\mathrm{Ts}-t)/{\mathrm{\β}}_2})$

(式中，ER_m2(t)为T_S之后的测量膨胀率)

所述选取的实验数据中部有峰值出现时，将选取的实验数据与第一类泡沫沥青测量衰退方程进行拟合，确定理论衰减方程中的相应参数，进而得到所求的泡沫沥青理论膨胀率和半衰期；

所述选取的实验数据中部无峰值出现时，将选取的实验数据分别与第一类和第二类泡沫沥青测量衰退方程进行拟合，通过比较二者相关系数的大小，选取较为准确的泡沫沥青测量衰退方程，再确定此时理论衰减方程中的相应参数，进而得到所求的泡沫沥青理论膨胀率和半衰期。

所述选取的实验数据的个数为至少4个。

所述拟合过程采用非线性最小二乘法，通过Matlab进行运算。

由于采用了上述技术方案，本发明在测算泡沫沥青理论膨胀率和半衰期时考虑了膨胀和衰减在时空上并行发生的机理，很好地解决泡沫沥青的瞬态特征评价问题，比较准确地表达了沥青发泡时的真实状态，对于实际工程中指导泡沫沥青冷再生技术工程应用具有很强的指导意义。

附图说明

图1为泡沫沥青性能的理论测算流程图

图2为第一类衰减方程测算示意图(喷射时间T_S＝10s))

图3为第二类衰减方程测算示意图(喷射时间T_S＝10s)

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步的说明。

如图1所示，为泡沫沥青性能的理论测算流程图。泡沫沥青膨胀率和半衰期的测算方法分两步，即实验测量和理论计算，实验测量是理论计算的基础和前提，理论计算则是在实验测得的数据基础上进行的计算处理，进而获得准确的泡沫沥青膨胀率和半衰期。

如图2-3所示，为两类衰减方程的测算示意图，其中测试曲线是根据实验测量数据描点所得曲线；测量衰退曲线是对两类衰退曲线进行相应积分换算后再与实验测量数据进行拟合得到的衰退曲线；真实衰退曲线是由拟合得到的测量衰退曲线反推得出的泡沫沥青真实衰退曲线。

第一步通过实验测量多组实验数据

实验测量的方法和过程基本与常规测量方法相似，在发泡过程中，观察泡沫沥青的最高膨胀率时的体积及此后衰退过程中不同时间点的体积直至最终稳定，通过简单比值计算可获取泡沫沥青的膨胀率和半衰期，区别之处在于为了获取更精确的实验数据，需要在发泡腔容器壁的四周设立带有刻度的标尺，以便于实验观测，标尺可根据容器自行设计。进行发泡实验时，从多个角度对实验过程实时录像，录像时重点是要拍摄到以标尺为衡量标准的泡沫沥青体积随时间的变化过程。

实验结束后便根据实验参数(容器体积和原始沥青体积)和实验录像采集多组实验数据(不同时间点泡沫沥青在标尺上的显示值)，准备进行后面的数据处理，进而得到不同时间点的测量膨胀率。

第二步理论计算

理论计算采用的方法是积分反求法，其步骤分别如下：

一.本发明的理论测算方法中，先假定泡沫沥青的理论衰减方程为ER(t)＝f(t)，由于不同型号的沥青，其发泡参数，泡沫沥青的衰减特性各不相同，总体可以将其分为两类：

(1)第一类是是泡沫沥青被喷出后几秒钟后其膨胀率达到最大值，然后再逐渐减少，喷射过程中出现峰值。则其对应的泡沫沥青衰减方程是一个四参数的幂函数(以下称泡沫沥青第一类衰减方程)：

ER₁(t)＝(α₁+β₁t)γ₁ ^t+δ₁(t≥0)                    (2)

(其中：ER1(t)为随时间变化的膨胀率；α1，β1控制着曲线的最大值及最大值出现的时间；γ1控制着拐点的位置(-1＜γ1＜1)；δ1控制衰退曲线的渐近线，代表泡沫沥青趋于稳定后的膨胀率(ER(∞))；α1+δ1则代表泡沫沥青喷出瞬间的膨胀率(ER(0))。)

(2)第二类是泡沫沥青被喷出的瞬间便达到最高膨胀率，此后膨胀率逐渐减少直至趋于稳定，喷射过程中不出现峰值，则其对应的泡沫沥青衰减方程是一个三参数的指数函数(以下称泡沫沥青第二类衰减方程)：

$\mathrm{ER}2\left(t\right)=\mathrm{ER}2+\mathrm{\α}2\×e^{(-t/{\mathrm{\β}}_2)},(t\≥0)---\left(3\right)$

(其中的ER2(t)为随时间变化的膨胀率；ER2为衰退曲线的渐进线，代表泡沫沥青趋于稳定后的膨胀率(ER(∞))；α2为变化幅度；β2为表示衰退速率的衰退常数；α2+ER2代表泡沫沥青喷出瞬间的膨胀率(ER(0))。)

二.接下来基于这两类泡沫沥青衰减方程，以及时空上并行发生的机理来分析理论计算的方法和流程，即根据不同的喷射时间T_S，对带有未知参数的衰减方程ER(t)＝f(t)分别在喷射时间内和喷射之后两段区间进行时间积分，并除以被积分时间：

(1)对于第一类泡沫沥青衰减方程式，其理论衰减方程就是ER(t)＝(α₁+β₁t)γ₁ ^t+δ₁，根据实验情况设定喷射时间T_S，则在发泡过程中(0＜t＜T_S)，泡沫沥青在t时刻的实验测量膨胀率是0～t时间内无限个理论膨胀率的平均值，即

$t\×{\mathrm{ER}}_{m1}\left(t\right)={\∫}_0^t\mathrm{ER}\left(t\right)\mathrm{dt}={\∫}_0^t(({\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\β}}_{1}t){{\mathrm{\γ}}_1}^t+{\mathrm{\δ}}_1)\mathrm{dt}---\left(4\right)$

(式中，ER_m1(t)为0～t时间内测量膨胀率。)

(ER_m1(t)与公式6中的ERm1(t)表示形式略不同，表示的意义是否一样？其他几处也类似问题。)

同样，发泡结束之后(T_S＜t)泡沫沥青在t时刻的测量膨胀率便是0～T_S时间内无限个衰减到t时刻理论膨胀率的平均值，即

$T_S\×{\mathrm{ER}}_{m2}\left(t\right)={\∫}_{t-\mathrm{Ts}}^t\mathrm{ER}\left(t\right)\mathrm{dt}={\∫}_{t-\mathrm{Ts}}^t(({\mathrm{\α}}_1+{\mathrm{\β}}_{1}t){{\mathrm{\γ}}_1}^t+{\mathrm{\δ}}_1)\mathrm{dt}---\left(5\right)$

(式中，ER_m2(t)为T_S之后的测量膨胀率)

计算得到在0＜t＜T_S时，第一类泡沫沥青测量衰减方程如公式6所示

$\mathrm{ERm}1\left(t\right)=\frac{1}{t}\×({\mathrm{\α}}_1\frac{{\mathrm{\γ}}_1^t}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}-{\mathrm{\α}}_1\frac{1}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}+{\mathrm{\δ}}_{1}t+\frac{{\mathrm{\β}}_1}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}t\×{\mathrm{\γ}}_1^t-\frac{{\mathrm{\β}}_1\×{\mathrm{\γ}}_1^t}{\ln {\mathrm{\γ}}_1\×\ln {\mathrm{\γ}}_1}+\frac{{\mathrm{\β}}_1}{\ln {\mathrm{\γ}}_1\×\ln {\mathrm{\γ}}_1})---\left(6\right)$

在T_S＜t时，第一类泡沫沥青测量衰减方程如公式7所示

$\mathrm{ERm}2\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{Ts}}\×({\mathrm{\α}}_1\frac{{\mathrm{\γ}}_1^t}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}-{\mathrm{\α}}_1\frac{{\mathrm{\γ}}_1^{t-\mathrm{Ts}}}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}+\mathrm{Ts}\×{\mathrm{\δ}}_1+\frac{{\mathrm{\β}}_1}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}(t\×{\mathrm{\γ}}_1^t-(t-\mathrm{Ts})\×{\mathrm{\γ}}_1^{t-\mathrm{Ts}})-\frac{{\mathrm{\β}}_1\×({\mathrm{\γ}}_1^t-{\mathrm{\γ}}_1^{t-\mathrm{Ts}})}{\ln {\mathrm{\γ}}_1\×\ln {\mathrm{\γ}}_1})---\left(7\right)$

(2)对于第二类泡沫沥青衰减方程式，其理论衰减方程就是同样设定喷射时间T_S，在其发泡过程中(0＜t＜T_S)，泡沫沥青在t时刻的实验测量膨胀率是0～t时间内无限个理论膨胀率的平均值，即

$t\×{\mathrm{ER}}_{m1}\left(t\right)={\∫}_0^t\mathrm{ER}\left(t\right)\mathrm{dt}={\∫}_0^t({\mathrm{ER}}_2+{\mathrm{\α}}_2\×e^{(-t/{\mathrm{\β}}_2)})\mathrm{dt}---\left(8\right)$

(式中，ER_m1(t)为0～t时间内测量膨胀率。)

发泡结束之后(T_S＜t)泡沫沥青的实验测量膨胀率是0～T_S时间内无限个衰减到t时刻理论膨胀率的平均值，即

$T_S\×{\mathrm{ER}}_{m2}\left(t\right)={\∫}_{t-\mathrm{Ts}}^t\mathrm{ER}\left(t\right)\mathrm{dt}={\∫}_{t-\mathrm{Ts}}^t({\mathrm{ER}}_2+{\mathrm{\α}}_2\×e^{(-t/{\mathrm{\β}}_2)})\mathrm{dt}---\left(9\right)$

(式中，ERm2(t)为T_S之后的测量膨胀率。)

计算得到在0＜t＜T_S时，第二类泡沫沥青测量衰减方程如公式10所示

$\mathrm{ERm}1\left(t\right)=\frac{1}{t}\×(t\×{\mathrm{ER}}_2-{\mathrm{\α}}_2\×{\mathrm{\β}}_2\×e^{-t/{\mathrm{\β}}_2}+{\mathrm{\α}}_2\×{\mathrm{\β}}_2)---\left(10\right)$

在T_S＜t时，第二类泡沫沥青测量衰减方程如公式11所示

$\mathrm{ERm}2\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{Ts}}\×(\mathrm{Ts}\×{\mathrm{ER}}_2-{\mathrm{\α}}_2\×{\mathrm{\β}}_2\×e^{-t/{\mathrm{\β}}_2}+{\mathrm{\α}}_2\×{\mathrm{\β}}_2\×e^{(\mathrm{Ts}-t)/{\mathrm{\β}}_2})---\left(11\right)$

这样便在两段区间上分别得到两条曲线，喷射之后那段区间得到的曲线理论上便是通过实验测量到的衰减曲线y(t)。

三.得到了泡沫沥青的测量衰退方程之后，再与实验数据进行拟合，从而确定衰退方程中的参数，最后得到真实膨胀率和半衰期：

(1)若峰值点(先上升后下降)出现在实验数据中部位置，如图2所示，则选用第一类曲线进行拟合：选用其中至少4个实验数据，运行其中第一类曲线测算程序，把这条衰减曲线y(t)与由不同时间点的测量膨胀率值组成的多个点进行拟合。如果拟合较好，至少大于0.9算可以接受的范围，把拟合得出的参数值代入到理论衰减方程R(t)＝f(t)中，便可以得到较准确的泡沫沥青理论膨胀率ER1和半衰期T1。

(2)若峰值点出现在实验数据端点位置，如图2-3所示，则分别选用第一类曲线和第二类曲线进行拟合，最后按拟合精度高的衰退方程为准：选用其中至少4个实验数据，分别运行第一类曲线测算程序和第二类曲线测算程序，把两条衰减曲线y(t)与由不同时间点的测量膨胀率值组成的多个点分别进行拟合，并以相关系数r来评价曲线y(t)与这些点的拟合效果。

如果拟合较好，把拟合得出的参数值代入到理论衰减方程R(t)＝f(t)中，其中：通过运行第一类曲线测算程序可以得到较准确的泡沫沥青理论膨胀率ER2、半衰期T2和拟合相关系数r2；通过运行第二类曲线测算程序可以得到较准确的ER3、半衰期T3和拟合相关系数r3。此时，若r2和r3数值均大于0.9，0.9这一数值点是作为无峰值的情况进行拟合时提出的，若只有一个大于0.9则取这个大于0.9的值。

则再比较相关系数r2和r3的大小，进一步确定更准确的数值，若：

r2＞r3，则理论膨胀率为ER2，半衰期为T2

r2＜r3，则理论膨胀率为ER3，半衰期为T3

因此，对于不同的沥青型号，可能就会有不同的泡沫沥青衰退特性。若测量衰退曲线有峰值，则其必属于第一类衰退曲线，如附图1，否则需要通过实验数据与测量衰退曲线的拟合相关性来判断，即通过比较拟合相关系数r的大小来选择那类衰退方程。

进一步，本发明采用的拟合程序是非线性最小二乘法(nlinfit)，通过Matlab进行运算。在选取数值进行拟合时，无论峰值点是否出现在测得数值点中部，所取的每组数值个数均为至少四个，一般以8-10个为佳，主要按时间平均分布来选取。

Claims (5)

1.一种泡沫沥青膨胀率和半衰期的理论测算方法，其特征在于：包括：

使用容器壁四周设立标尺的容器，在发泡过程中，观察泡沫沥青的最高膨胀率时的体积及此后衰退过程中不同时间点的体积直至最终稳定，通过简单比值计算可获取泡沫沥青的膨胀率和半衰期，同时对实验的过程进行录像；

根据实验录像采集实验数据，即多组不同时间点泡沫沥青在标尺上的显示值；

将选取的实验数据与泡沫沥青的测量衰退方程进行拟合，以拟合精度高的衰退方程为准，确定理论衰退方程中的参数，进而得到泡沫沥青的真实膨胀率和半衰期。

2.如权利要求1所述的理论测算方法，其特征在于：所述泡沫沥青的测量衰退方程为第一类泡沫沥青测量衰减方程和第二类泡沫沥青测量衰减方程：

第一类泡沫沥青被喷出后几秒钟后其膨胀率达到最大值，然后再逐渐减少，第一类泡沫沥青衰减方程为：

ER₁(t)＝(α₁+β₁t)γ₁ ^t+δ₁(t≥0)

其中：ER1(t)为随时间变化的膨胀率；α1，β1控制着曲线的最大值及最大值出现的时间；γ1控制着拐点的位置(-1＜γ1＜1)；δ1控制衰退曲线的渐近线，代表泡沫沥青趋于稳定后的膨胀率(ER(∞))；α1+δ1则代表泡沫沥青喷出瞬间的膨胀率(ER(0))；

在0＜t＜T_S时，第一类泡沫沥青测量衰减方程为：

$\mathrm{ERm}1\left(t\right)=\frac{1}{t}\×({\mathrm{\α}}_1\frac{{\mathrm{\γ}}_1^t}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}-{\mathrm{\α}}_1\frac{1}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}+{\mathrm{\δ}}_{1}t+\frac{{\mathrm{\β}}_1}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}t\×{\mathrm{\γ}}_1^t-\frac{{\mathrm{\β}}_1\×{\mathrm{\γ}}_1^t}{\ln {\mathrm{\γ}}_1\×\ln {\mathrm{\γ}}_1}+\frac{{\mathrm{\β}}_1}{\ln {\mathrm{\γ}}_1\×\ln {\mathrm{\γ}}_1})$

式中，ER_m1(t)为0～t时间内测量膨胀率；

在T_S＜t时，第一类泡沫沥青测量衰减方程为：

$\mathrm{ERm}2\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{Ts}}\×({\mathrm{\α}}_1\frac{{\mathrm{\γ}}_1^t}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}-{\mathrm{\α}}_1\frac{{\mathrm{\γ}}_1^{t-\mathrm{Ts}}}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}+\mathrm{Ts}\×{\mathrm{\δ}}_1+\frac{{\mathrm{\β}}_1}{\ln {\mathrm{\γ}}_1}(t\×{\mathrm{\γ}}_1^t-(t-\mathrm{Ts})\×{\mathrm{\γ}}_1^{t-\mathrm{Ts}})-\frac{{\mathrm{\β}}_1\×({\mathrm{\γ}}_1^t-{\mathrm{\γ}}_1^{t-\mathrm{Ts}})}{\ln {\mathrm{\γ}}_1\×\ln {\mathrm{\γ}}_1})$

式中，ER_m2(t)为T_S之后的测量膨胀率；

第二类泡沫沥青被喷出的瞬间便达到最高膨胀率，此后膨胀率逐渐减少直至趋于稳定，喷射过程中不出现峰值，第二类泡沫沥青衰减方程为

$\mathrm{ER}2\left(t\right)=\mathrm{ER}2+\mathrm{\α}2\×e^{(-t/{\mathrm{\β}}_2)},(t\≥0)$

其中的ER2(t)为随时间变化的膨胀率；ER2为衰退曲线的渐进线，代表泡沫沥青趋于稳定后的膨胀率(ER(∞))；α2为变化幅度；β2为表示衰退速率的衰退常数；α2+ER2代表泡沫沥青喷出瞬间的膨胀率(ER(0))；

在0＜t＜T_S时，第二类泡沫沥青测量衰减方程为：

$\mathrm{ERm}1\left(t\right)=\frac{1}{t}\×(t\×{\mathrm{ER}}_2-{\mathrm{\α}}_2\×{\mathrm{\β}}_2\×e^{-t/{\mathrm{\β}}_2}+{\mathrm{\α}}_2\×{\mathrm{\β}}_2)$

式中，ER_m1(t)为0～t时间内测量膨胀率；

在T_S＜t时，第二类泡沫沥青测量衰减方程为：

$\mathrm{ERm}2\left(t\right)=\frac{1}{\mathrm{Ts}}\×(\mathrm{Ts}\×{\mathrm{ER}}_2-{\mathrm{\α}}_2\×{\mathrm{\β}}_2\×e^{-t/{\mathrm{\β}}_2}+{\mathrm{\α}}_2\×{\mathrm{\β}}_2\×e^{(\mathrm{Ts}-t)/{\mathrm{\β}}_2})$

式中，ER_m2(t)为T_S之后的测量膨胀率。

3.如权利要求1或2所述的理论测算方法，其特征在于：所述选取的实验数据中部有峰值出现时，将选取的实验数据与第一类泡沫沥青测量衰退方程进行拟合，确定理论衰减方程中的相应参数，进而得到所求的泡沫沥青理论膨胀率和半衰期；

所述选取的实验数据中部无峰值出现时，将选取的实验数据分别与第一类和第二类泡沫沥青测量衰退方程进行拟合，通过比较二者相关系数的大小，选取较为准确的泡沫沥青测量衰退方程，再确定此时理论衰减方程中的相应参数，进而得到所求的泡沫沥青理论膨胀率和半衰期。

4.如权利要求1所述的理论测算方法，其特征在于：所述选取的实验数据的个数为至少4个。

5.如权利要求1所述的理论测算方法，其特征在于：所述拟合过程采用非线性最小二乘法，通过Matlab进行运算。

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