CN101216512A - 一种非正弦周期信号实时高精度检测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种非正弦周期信号实时高精度检测方法，包括以下步骤：对待检测的非正弦周期信号进行采样；利用基于三角基函数的神经网络计算采样信号的基波及各次谐波的频率、幅值和相位；采用加窗插值算法修正神经网络计算的非正弦周期信号的基波频率。对所提出的神经网络算法进行了改进，以能针对非同步采样、非整周期截断情况，进行高精度非正弦周期信号基波频率、基波及各次谐波的幅值和相位分析，当神经网络收敛时，可以获得高精度的非正弦周期信号谐波分析结果。本发明具有快速、实时、高精度等特点，在机械工程、电机测试、电力***稳定性分析、信号处理、仪器仪表、工业控制等领域具有广泛应用前景。

Description

一种非正弦周期信号实时高精度检测方法

技术领域

本发明涉及信号处理领域一种非正弦周期信号实时高精度检测方法。

背景技术

在机械工程、电机测试、电力***稳定性分析、信号处理、仪器仪表、工业控制等领域常常需要对非正弦周期信号进行检测，且这种检测都要求具有高精度和实时快速性。然而目前的方法难以做到这一点。如采用快速傅立叶变换(FFT)方法进行检测，往往存在栅兰效应和泄漏现象，使计算出的信号参数，即频率、幅值、相位不准，尤其相位误差很大，无法满足谐波测量要求。采用插值算法可消除栅兰效应引起的误差，采用加窗函数的方法消除频谱泄漏引起的误差，算法具有较高的精度，但对每次谐波的频率、幅值和相位都要进行单独校正，计算量较大，无法满足现代工业对谐波实时监测的要求。

近年来，人工神经网络在非正弦周期信号检测方面得到了大力应用。然而，自适应人工神经网络必须已知***的精确基波频率才能进行精确的谐波分析；而多层前馈自适应人工神经网络训练过程不确定，在应用之前一般需要大量的训练，且该网络神经元过多，计算量过大，适应性差。

发明内容

为了解决现有非正弦周期信号实时检测计算量过大、精度差的技术问题，本发明提供一种非正弦周期信号实时高精度检测方法，本发明计算量小，具有高精度和实时快速性，可以满足现代工业的需求。

本发明解决上述的技术问题的技术方案包括以下步骤：

对待检测的非正弦周期信号进行采样；

利用基于三角基函数的神经网络计算采样信号的基波及各次谐波的频率、幅值和相位；

采用加窗插值算法修正神经网络计算的基波频率。

上述的非正弦周期信号实时高精度检测方法中，对非同步采样、非整周期截断情况，采用改进基于三角基函数的神经网络进行高精度非正弦周期信号基波频率、基波及各次谐波的幅值和相位分析，当神经网络收敛时，可以获得高精度的谐波分析结果。

本发明的技术效果在于：利用三角基函数的神经网络进行非正弦周期信号基波频率、基波及各次谐波的幅值和相位分析，当神经网络收敛时，神经网络的输出为基波及各次谐波的幅值和相位，比较接近真实情况，此时频率相对误差小于2.5×10^-5，幅值相对误差＜3×10^-2，相位相对误差＜2×10^-2度，而计算速度快小于5秒；当实际信号中有白噪声干扰时，利用三角基函数的神经网络进行非正弦周期信号基波频率、基波及各次谐波的幅值和相位分析时，采用加窗插值算法修正神经网络计算的基波频率，得到上述相同的精度。

对非同步采样、非整周期截断情况，采用改进基于三角基函数的神经网络进行非正弦周期信号基波频率、基波及各次谐波的幅值和相位分析，当神经网络收敛时，神经网络的输出非常逼近真实情况，此时幅值误差|ΔA_n|＜2×10^-13，相位误差|Δ_n|＜4×10^-11度，而计算速度非常快小于1秒。因此说本发明非正弦周期信号检测方法具有快速、实时、高精度等特点，在机械工程、电机测试、电力***稳定性分析、信号处理、仪器仪表等领域具有广泛应用前景。

下面结合附图及具体实施例对本发明作进一步的说明。

附图说明

图1为本发明基于三角基函数神经网络模型。

图2为本发明基于不同学习率β的基波频率估计灵敏度示意。

图3为本发明方法求分析非正弦信号实际基波频率为60Hz时的误差曲线。

具体实施方式

本发明检测非正弦周期信号的步骤如下：

对待检测的非正弦周期信号进行采样；

利用基于三角基函数的神经网络计算采样信号的基波及各次谐波的频率、幅值和相位，参见图1，非正弦周期信号基于三角基函数的神经网络模型如下：

$y\left(m\right)=w_0+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_j\cos \left({\mathrm{j\ω}}_0{\mathrm{mT}}_s\right)+\underset{j=N+1}{\overset{2N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_j\sin \left[(j-N){\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{mT}}_s\right]---\left(1\right)$

式中w_j为神经网络权值，c_j为三角基函数，c_j＝cos(jω₀mT_s)(j＝0，1，2，...N)，c_j＝sin[(j-N)ω₀mT_s]，j＝N+1，N+2，...2N；ω₀为信号基波角频率，ω₀＝2πf₀，j为谐波次数，m为第m个采样点，T_s为采样周期，N为最高次谐波次数。

非正弦周期信号的基波频率、基波及各次谐波的幅值和相位为：

式中f_n为第n次谐波频率，A_n、_n分别为第n次谐波幅值及相位。

神经网络输出： $y_d\left(m\right)=\underset{j=0}{\overset{2N}{\mathrm{\Σ}}}{w}_j{c}_j\left({\mathrm{\ω}}_0\right)=W^{T}C$

误差函数：e(m)＝y(m)-y_d(m)，m＝0，1，2，...M-1

性能指标： $J=\frac{1}{2}\underset{m=0}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}{e}^2\left(m\right)$

权值调整： $W(m+1)=W\left(m\right)-\mathrm{\η}\frac{\∂J}{\∂W}=W\left(m\right)+\mathrm{\ηe}\left(m\right)C\left(m\right)$

式中权值矩阵为：W＝[w₀，w₁，...w_2N]^T，激励矩阵为：C＝[c₀，c₁(ω₀)，...c_2N(ω₀)]^T，η为学习率，且0＜η＜1。

特别是要注意，学习率η的选择，为了保证神经网络算法收敛，理论和大量测试与实验得出必须0＜η＜2/(N+1)，其中2N+1是隐层神经元个数。

神经网络收敛稳定时候即性能指标、误差函数满足要求，非正弦周期信号的基波与各次谐波的幅值和相位按下式进行计算：

基波幅值 $A_1=\sqrt{w_1^2+w_{N+1}^2;}$ 基波相位  ₁＝arctg(w₁/w_N+1)

n次谐波幅值 $A_n=\sqrt{w_n^2+w_{N+n}^2;}$ n次谐波相位  _n＝arctg(w_n/w_N+n)

本发明中基波频率计算过程如下：

$\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_0\left(m\right)=-\mathrm{\η}\frac{\∂J}{\∂{\mathrm{\ω}}_0\left(m\right)}=\mathrm{\ηe}\left(m\right)m{T}_s\{-\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{jw}}_j\sin \left({\mathrm{j\ω}}_0{\mathrm{mT}}_s\right)+\underset{j=N+1}{\overset{2N}{\mathrm{\Σ}}}(j-N)w_j\cos [(j-N){\mathrm{\ω}}_0{\mathrm{mT}}_s\left]\right\}$

令I＝[1，2，...N]^T，A＝[w₁，w₂，...w_N]^T，B＝[w_N+1，w_N+2，...w_2N]^T，P＝[c₁(ω₀)，c₂(ω₀)，...c_N(ω₀)]^T，Q＝[c_N+1(ω₀)，c_N+2(ω₀)，...c_2N(ω₀)]^T，则基波角频率按下式调整

ω₀(m+1)＝ω₀(m)+ηe(m)mT_s×sum(I·*B·*P-I·*A·*Q)

式中，符号sum为求矩阵列元素和运算，.*表示为MATLAB环境中的矩阵元素群乘法运算，神经网络权值W、学习率η仍按上述方式确定。

为了进一步提高由上述神经网络算法求得的基波频率的准确度，本发明利用加矩形窗或海宁窗插值算法进行修正：f₀＝(K₀+ΔK₀)f_s/M，式中采样频率为f_s，基波频率为f₀，K₀为整数，ΔK₀为小数，M为采样点。

加矩形窗的基波频率的校正公式

$\mathrm{\&Delta;}{K}_0=\left\{\begin{array}{c}\end{array}\begin{array}{c}\frac{Y(K_0+1)}{Y\left(K_0\right)+Y(K_0+1)},Y(K_0+1)\&GreaterEqual;Y(K_0-1)\\ \frac{Y(K_0-1)}{Y\left(K\right)+Y(K-1)},Y(K_0+1)<Y(K_0-1)\end{array}\right.$

加海宁窗的基波频率的校正公式为

$\mathrm{\&Delta;}{K}_0=\left\{\begin{array}{c}\frac{2Y_w(K_0+1)-Y_w\left(K_0\right)}{Y_w\left(K_0\right)+Y_w(K_0+1)},Y_w(K_0+1)\&GreaterEqual;Y_w(K_0-1)\\ \frac{Y_w\left(K_0\right)-{2Y}_w(K_0-1)}{Y_w\left(K\right)+Y_w(K-1)},Y_w(K_0+1)<Y_w(K_0-1)\end{array}\right.$

对非同步采样、非整周期截断情况，为进一步提高利用上述神经网络算法求非正弦周期信号基波频率、基波及各次谐波的幅值和相位分析精度，本发明提出了改进的基于三角基函数的神经网络算法，步骤如下：

1)初始值设置：随机产生初始权向量a和b，令初始基波角频率ω₀＝100π，指定采样频率f_s及采样数据长度M，能量误差最小值ε，选择合适的学习率η和β；

2)由下式产生神经网络输出向量y：y＝aC+bS式中a＝[a₁，a₂，...a_N]，b＝[b₁，b₂，...b_N]，a_n＝A_nsinθ_n，b_n＝A_ncosθ_n

$C=\left[\begin{array}{cccc}\cos \left[{\mathrm{\&omega;}}_0{T}_s\right]& \cos \left[{\mathrm{\&omega;}}_0{2T}_s\right]& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \cos \left[{\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{MT}}_s\right]\\ \cos \left[{2\mathrm{\&omega;}}_0{T}_s\right]& \cos \left[{2\mathrm{\&omega;}}_0{2T}_s\right]& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \cos \left[{2\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{MT}}_s\right]\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \cos \left[{\mathrm{N\&omega;}}_0{T}_s\right]& \cos \left[{\mathrm{N\&omega;}}_0{2T}_s\right]& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \cos \left[{\mathrm{N\&omega;}}_0{\mathrm{MT}}_s\right]\end{array}\right]$

$S=\left[\begin{array}{cccc}\sin \left[{\mathrm{\&omega;}}_0{T}_s\right]& \sin \left[{\mathrm{\&omega;}}_{0}2T_s\right]& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \sin \left[{\mathrm{\&omega;}}_{0}M{T}_s\right]\\ \sin \left[{2\mathrm{\&omega;}}_0{T}_s\right]& \sin \left[2{\mathrm{\&omega;}}_0{2T}_s\right]& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \sin \left[{2\mathrm{\&omega;}}_{0}M{T}_s\right]\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \sin \left[{\mathrm{N\&omega;}}_0{T}_s\right]& \sin \left[{\mathrm{N\&omega;}}_{0}2T_s\right]& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \sin \left[{\mathrm{N\&omega;}}_{0}M{T}_s\right]\end{array}\right]$

3)分别计算误差向量e：e＝x-y  及能量误差函数J： $J=\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}^2\left(m\right)$ 的值，

式中x为实际连续信号的离散样本向量，y为神经网络的输出向量；

4)分别更新权值向量a、b及标量ω₀：

$a_{k+1}=a_k-\mathrm{\&eta;}\frac{\&PartialD;J}{\&PartialD;a_k}=a_k+\mathrm{\&eta;}{e}_k{C}^T$ $b_{k+1}=b_k-\mathrm{\&eta;}\frac{\&PartialD;J}{\&PartialD;b_k}=b_k+\mathrm{\&eta;}{e}_k{S}^T$

${\mathrm{\&omega;}}_0(k+1)={\mathrm{\&omega;}}_0\left(k\right)-\mathrm{\&beta;}\frac{\&PartialD;J}{\&PartialD;{\mathrm{\&omega;}}_0\left(k\right)}={\mathrm{\&omega;}}_0\left(k\right)+{\mathrm{\&beta;T}}_{s}e\{P^T\&CenterDot;*C^T*b_k^T-P^T\&CenterDot;*S^T*a_k^T\}$

式中β＞0为ω₀的学习率，且“.*”为元素群运算，即P.*C＝[P_ijC_ij]_N×M，

$P=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& M\\ 2& 4& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 2M\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ N& 2N& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \mathrm{NM}\end{array}\right].$

5)如果J＞ε，回到第(2)步，否则，结束神经网络训练。

本发明应用示例：

实例1：待分析的信号：

其中，基波频率f₁为50.1Hz，其他各次谐波的频率为基波频率的整数倍，采样频率为1000Hz，采样点数为80点，基波和各次谐波的幅值(为无单位数值)和相位如表1所示。将额定工频50Hz及采样到的采样值送神经网络训练，即可一次性获得基波及各次谐波的测量频率、幅值和相位。表2为采用本发明的神经网络算法获得的谐波频率、幅值、相位及其相对于真值的误差。由仿真分析结果可以看出，本发明提出的谐波测量方法对频率波动有很好的适应性，对各次谐波的幅值和相角的计算精度极高。文献[张伏生，耿中行，葛耀中，中国电机工程学报，1999，19(3)]的采样频率为3000Hz，采样点数为1024点，分别采用加海宁窗及布莱克曼窗插值修正算法对同样的信号进行谐波分析，所得分析结果也均比本发明算法的分析结果精度低。

为了检验白噪声信号干扰实际分析信号的大小，在仿真信号中加入了幅值为基波幅值1％的随机白噪声信号。按照本发明加窗插值算法(加矩形窗或加海宁窗)获得基波频率，并把该基波频率作为神经网络算法使用的基波频率，再将采样到的前一个基波周期的采样值(80个点)送神经网络训练，经6次迭代后神经网络收敛，即可一次性获得按上述方法获得的具有相同精度的基波和各次谐波的测量幅值和相位。可见，本发明提出的非正弦周期信号谐波检测方法对频率波动有较好的适应性，受白噪声信号干扰小，对各次谐波的幅值和相角的计算精度高。

表1  实例1信号的谐波成分

仿真信号	谐波次数/次
												基波	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
	幅度Ai相位(°)	2400	0.110	1220	0.130	2.740	0.0550	2.160	0-	0.380	0-												0.6100

表2  用本发明提出的神经网络算法获得的实例1谐波分析结果

谐波次数	谐波频率		谐波幅值		谐波相位
							频率(Hz)	相对误差(％)	幅值	相对误差(％)	相位(°)	相对误差(％)

1234567911

50.099991100.199982150.299973200.399964250.499955300.599946350.699937450.899919551.099901

0.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.000020.00002

239.9999370.09994511.9999640.0999692.6999760.0499792.0999820.2999780.600030

-0.000026-0.055000-0.000300-0.031000-0.000889-0.021000-0.000857-0.0073330.005000

0.000229410.00137720.000704430.00324540.00125250.00772360.00177780.014041100.006906

0.0000640.0137700.0035200.0108170.0031300.0154460.0029620.0175510.006906

实例2：对于实例1的分析信号，设基波频率从40到60Hz变化。为了检验本发明改进的非正弦周期信号检测神经网络分析方法对非同步采样离散信号的有效性，我们指定采样频率为1510Hz，离散数据长度为40采样点。现考虑实际信号的基波频率为40Hz、50Hz、60Hz等3种状况，在这实际3种基波频率状况下，用指定的采样频率及数据长度，显然处于非同步采样、非整周期截断情况。设ε＝10^-29，η＝0.0227，基波初始角频率ω₀＝100π。首先分析分别在上述3种实际基波频率下学习率β对基波频率估计值的灵敏度如图2所示。从图中可知，当β＝230附近时，其频率估计误差最小，为此我们取β＝230，对上述3种不同的实际基波频率情况进行谐波分析，分别经550次、443次、421次训练，计算时间分别为0.265秒、0.218秒、0.204秒，神经网络收敛(图3为基波频率为60Hz时所得谐波分析的幅值和相位误差)。另外，当实际基波频率为40Hz时，所得基波频率估计误差为Δf₀＝2.132×10^-14Hz，而当实际基波频率为50及60Hz时，所得基波频率估计误差均为Δf₀＝-1.421×10^-14Hz。由分析结果知，当实际基波频率从40Hz至60Hz变化时，所得基波频率误差|Δf₀|＜3×10^-14Hz，幅值误差|ΔA_n|＜1.2×10^-13，相位误差|Δ_n|＜3.5×10^-11度。而文献[Zhang F，Geng Z，Yuan W.IEEE Trans.PowerDelivery，2001，16(2)：160]对同一信号采用加窗FFT插值算法进行谐波分析，实际基波频率为f₀＝50Hz、采样频率为3000Hz、数据长度为1024采样点，即在同步采样、非整周期截断情况下，所得基波频率误差|Δf₀|＞10^-7Hz；文献[Serna J A..IEEE Trans.Instrum.Meas.2001，50(6)：1556-1562]对含4次谐波的信号进行谐波分析，采样频率为6400Hz，数据长度为4096采样点，基波频率变化范围为49.5至50.5Hz，所得幅值误差|ΔA_n|＞10^-4，相位误差|Δ_n|＞10^-7度(频率估计误差未给出)。显然，本发明介绍的神经网络谐波分析精度要远高于加窗FFT插值算法。结果再次表明在非同步采样、非整周期截断情况下，用本发明所叙非正弦周期信号检测神经网络分析方法对谐波分析获得了非常高的精度。

Claims (9)

1.一种非正弦周期信号实时高精度检测方法，包括以下步骤：

对待检测的非正弦周期信号进行采样；

利用基于三角基函数的神经网络计算采样信号的基波及各次谐波的频率、幅值和相位；

采用加窗插值算法修正神经网络计算的基波频率。

2.根据权利要求1所述的非正弦周期信号实时高精度检测方法，所述三角基函数的神经网络模型为：

$y\left(m\right)=w_0+\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_j\cos \left({\mathrm{j\&omega;}}_0{\mathrm{mT}}_s\right)+\underset{j=N+1}{\overset{2N}{\mathrm{\&Sigma;}}}{w}_j\sin \left[(j-N){\mathrm{\&omega;}}_0{\mathrm{mT}}_s\right]$

上式中w_j为神经网络权值，c_j为三角基函数，c_j＝cos(jω₀mT_s)(j＝0，1，2，...N)，c_j＝sin[(j-N)ω₀mT_s]，j＝N+1，N+2，...2N，ω₀为信号基波角频率，ω₀＝2πf₀，j为谐波次数，m为第m个采样点，T_s为采样周期，N为最高次谐波次数。

3.根据权利要求2所述的非正弦周期信号实时高精度检测方法，所述三角基函数神经网络权值调整按下式进行：

$W(m+1)=W\left(m\right)-\mathrm{\&eta;}\frac{\&PartialD;J}{\&PartialD;W}=W\left(m\right)+\mathrm{\&eta;e}\left(m\right)C\left(m\right)$

式中权值矩阵为：W＝[w₀，w₁，...w_2N]^T，激励矩阵为：C＝[c₀，c₁(ω₀)，...c_2N(ω₀)]^T，η为学习率，且0＜η＜1。

4.根据权利要求1、2、3所述的非正弦周期信号实时高精度检测方法，所述非正弦周期信号的基波频率及基波与各次谐波的幅值和相位按下式进行计算：

基波幅值 $A_1=\sqrt{w_1^2+w_{N+1}^2};$ 基波相位  ₁＝arctg(w₁/w_N+1)；

n次谐波幅值 $A_n=\sqrt{w_n^2+w_{N+n}^2};$ n次谐波相位  _n＝arctg(w_n/w_N+n)。

5.根据权利要求1所述的一种非正弦周期信号实时高精度检测方法，所述利用矩形窗或海宁插值算法修正由神经网络算法求得的基波频率。

6.根据权利要求1所述的一种非正弦周期信号实时高精度检测方法，其特征在于利用了改进的基于三角基函数的神经网络算法提高非正弦周期信号基波频率、基波及各次谐波的幅值和相位分析精度。

7.根据权利要求1、6所述的改进的基于三角基函数的神经网络算法，其特征在于神经网络参数ω₀按下式进行调整：

${\mathrm{\&omega;}}_0(k+1)={\mathrm{\&omega;}}_0\left(k\right)-\mathrm{\&beta;}\frac{\&PartialD;J}{\&PartialD;{\mathrm{\&omega;}}_0\left(k\right)}$

${=\mathrm{\&omega;}}_0\left(k\right)+\mathrm{\&beta;}{T}_{s}e{\{P}^T\&CenterDot;*C^T*b_k^T-P^T\&CenterDot;S^T*a_k^T\}$

式中 $P=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& M\\ 2& 4& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 2M\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ N& 2N& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \mathrm{NM}\end{array}\right],$ β＞0为ω₀的学习率，且“.*”为元素群运算，即P.*C＝[P_ijC_ij]_N×M。

8.根据权利要求3所述的非正弦周期信号实时高精度检测方法，所述学习率η的选择为0＜η＜2/(N+1)，其中2N+1是隐层神经元个数。

9.根据权利要求1所述的非正弦周期信号实时高精度检测方法，采用改进的三角基函数的神经网络算法进行高精度非正弦周期信号基波频率、基波及各次谐波的幅值和相位分析，当神经网络收敛时，可以获得高精度的谐波分析结果，其步骤如下：

1)初始值设置：随机产生初始权向量a和b，令初始基波角频率ω₀＝100π，指定采样频率f_s及采样数据长度M，能量误差最小值ε，选择合适的学习率η和β；

2)由下式产生神经网络输出向量y：y＝aC+bS式中a＝[a₁，a₂，…，a_N]，b＝[b₁，b₂，…，b_N]，a_n＝A_nsinθ_n，b_n＝A_ncosθ_n

$C=\left[\begin{array}{cccc}\cos \left[{\mathrm{\&omega;}}_0{T}_s\right]& \cos \left[{\mathrm{\&omega;}}_0{2T}_s\right]& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \cos \left[{\mathrm{\&omega;}}_{0}M{T}_s\right]\\ \cos \left[2{\mathrm{\&omega;}}_0{T}_s\right]& \cos \left[2{\mathrm{\&omega;}}_{0}2T_s\right]& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \cos \left[{2\mathrm{\&omega;}}_{0}M{T}_s\right]\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \cos \left[{\mathrm{N\&omega;}}_0{T}_s\right]& \cos \left[{\mathrm{N\&omega;}}_0{2T}_s\right]& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \cos \left[{\mathrm{N\&omega;}}_{0}M{T}_s\right]\end{array}\right]$

$S=\left[\begin{array}{cccc}\sin \left[{\mathrm{\&omega;}}_0{T}_s\right]& \sin \left[{\mathrm{\&omega;}}_{0}2T_s\right]& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \sin \left[{\mathrm{\&omega;}}_{0}M{T}_s\right]\\ \sin \left[2{\mathrm{\&omega;}}_0{T}_s\right]& \sin \left[2{\mathrm{\&omega;}}_0{2T}_s\right]& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \sin \left[2{\mathrm{\&omega;}}_{0}M{T}_s\right]\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& & \&CenterDot;\\ \sin \left[{\mathrm{N\&omega;}}_0{T}_s\right]& \sin \left[{\mathrm{N\&omega;}}_{0}2T_s\right]& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \sin \left[{\mathrm{N\&omega;}}_{0}M{T}_s\right]\end{array}\right]$

3)分别计算误差向量e：e＝x-y及能量误差函数J： $J=\frac{1}{2}\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\&Sigma;}}}{e}^2\left(m\right)$ 的值，式中x为实际连续信号的离散样本向量，y为神经网络的输出向量；

4)分别更新权值向量a、b及标量ω₀：

$a_{k+1}=a_k-\mathrm{\&eta;}\frac{\&PartialD;J}{\&PartialD;a_k}=a_k+\mathrm{\&eta;}{e}_k{C}^T$ $b_{k+1}=b_k-\mathrm{\&eta;}\frac{\&PartialD;J}{\&PartialD;b_k}=b_k+\mathrm{\&eta;}{e}_k{S}^T$

${\mathrm{\&omega;}}_0(k+1)={\mathrm{\&omega;}}_0\left(k\right)-\mathrm{\&beta;}\frac{\&PartialD;J}{\&PartialD;{\mathrm{\&omega;}}_0\left(k\right)}={\mathrm{\&omega;}}_0\left(k\right)+\mathrm{\&beta;}{T}_{s}e\{P^T\&CenterDot;*C^T*b_k^T-P^T\&CenterDot;*S^T*a_k^T\}$

式中β＞0为ω₀的学习率，且“.*”为元素群运算，即P.*C＝[P_ijC_ij]_N×M，

$P=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& M\\ 2& 4& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& 2M\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ N& 2N& \&CenterDot;\&CenterDot;\&CenterDot;& \mathrm{NM}\end{array}\right].$

5)如果J＞ε，回到第(2)步，否则，结束神经网络训练。

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