CN101114967A - 一种复杂网络商空间模型的构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明复杂网络商空间模型的构建方法，特征是利用商空间理论中的等价关系对网络进行逐步粒度粗化分类，形成一个递阶商空间链，再根据每个节点在递阶商空间链上不同商空间中的位置给出各节点的分层编号，形成复杂网络商空间模型。根据本发明构建的复杂网络商空间模型中任意两节点的分层编号可以直观地找出两节点的“最佳路径”的路径分布状况，并可根据其递阶商空间链找出网络中任意两节点的“最佳路径”。依据该模型可从粒度最粗的商空间开始搜索两点的连通路径，逐步细化，一直到搜索到粒度最细的商空间，从而可快速搜索出任意两点的“最佳路径”；还可利用计算机来构建复杂网络商空间模型和快速搜索复杂网络中的“最佳路径”。

Description

一种复杂网络商空间模型的构建方法

技术领域：

本发明属于复杂网络(Complex Networks)技术领域，具体涉及无向带权网络的商空间模型和采用商空间粒度计算分类和分层递阶构建复杂网络商空间模型的方法。

背景技术：

近年来，复杂网络的定性分析成了研究的热点，从粒度计算的角度看，这些分析仅给出了最粗粒度下复杂网络的某些宏观性质，而对给定目标下的问题求解来说，只有方向没有方法，仍然没有实质性的进展。

据《复杂网络》(上海科技教育出版社，郭雷、许晓鸣主编，2006年11月第1版，第271-275页)介绍，在解决复杂网络的最短路径问题时，常用的是Dqjkstra算法和Floyd算法，Dijkstra算法适合于求解单源点最短路径问题，Floyd算法在求解所有点之间的最短路径效果比较好，但这两种方法都属于试探型搜索算法，由于这两种算法存在网络数据存储的瓶颈和计算量大的问题，只适用于网络规模小的情况，并且搜索耗时，无法处理大规模的复杂网络。而现有大规模网络最短路径的并行算法思想，虽然能处理大规模的复杂网络，但从工作量和消耗资源的整体上看，不仅没有减少计算量，还增加了消息传递和数据传输的工作量和资源消耗。

对于无向带权网络的路径搜索，现有技术还是Dijkstra算法和Floyd算法及其在此基础上的变形，由于网络数据存储的瓶颈和计算量的问题，仅适用于网络规模小的情况，并且搜索耗时。

在道路交通网络中，搜索车辆最佳行车路线的过程是最短路径问题在车辆导航***中的具体应用，目前还是以Dijkstra算法为经典，该算法也是一些其他相关算法设计的理论基础，是力求通过计算机数据结构、运筹学等方法，从理论上减少搜索算法的时间复杂度，但往往忽略了实际城市道路网络中的道路特征，以及多数驾驶员希望行车过程中尽可能地走主要道路、走路况好的道路的倾向性，并且这些搜索算法只在城市内部的行车路线搜索上有所体现，尚未考虑到解决城市间、城市内的最佳行车路径的搜索问题。

同样，在电力***的电力运输和计算机网络的路由选择搜索中，至今还是运用试探型搜索算法、用最短路径的思想来解决问题，尚不能搜索电力运输过程中高压、低损耗的输送路线和在计算机网络中由高流量的网络路径组成的路线。

据《问题求解理论及应用——商空间粒度计算理论及应用》(第2版)(清华大学出版社，张铃、张钹著，2007年3月第2版，第1-6，12-14，27-36，38-39，90-105页)介绍，现有商空间理论以三元组(X，F，T)表示研究的论域X、属性F、结构T，用商集[X]对应的三元组([X]，[F]，[T])表示不同的粒度即商空间，这个模型不但可表示对象的属性，还可表示对象之间的结构关系，同时可描述各种不同粒度世界之间转移、变换、合成、和分解等关系，能充分表述从粗到细、从表及里、从多侧面、多层次上分析问题的能力。但该商空间理论中提出的等价关系还只是数学领域上的一般形式，尚未涉及针对具体复杂网络上的表达形式；该商空间理论还尚未将粒度分层思想应用到构建复杂网络的模型的具体表示方法中。

至今未见大规模复杂网络的可使用的具体模型表示方法，也未见将商空间理论在复杂网络中进行具体应用。

发明内容：

本发明目的是提出一种复杂网络商空间模型的构建方法，以解决无向带权网络中的路径快速搜索问题，找出网络中任意两节点的“最佳路径”。

本发明的复杂网络商空间模型的构建方法，根据无向带权网络中边上权值的不同对节点粒度分类建立层次网络模型；其特征在于：从作为粒度最细商空间的初始网络开始，先在网络中提取不同权值构成边权集合，从该边权集合中选取最大的权值进行等价关系分类，根据等价关系对等于最大权值的边进行归并形成等价类，得到粒度较粗的商空间；然后再在边权集合中依次从次大权值开始从大到小选取权值进行等价关系分类，根据等价关系对所得到的粒度较粗的商空间中大于等于选取权值的边进行归并形成等价类，使同一等价类中网络节点的边上权值为大于等于等价关系选取的权值且小于上一个选取的权值，从而构成粒度更粗的商空间；继续依此操作直至分类到粒度最粗的商空间：对于连通网络该粒度最粗的商空间中只有一个元素，对于非连通网络则粒度最粗的商空间中元素个数等于其连通分支数目；将各商空间按粒度从细到粗排列形成一个递阶商空间链，再根据每个节点在递阶商空间链上不同商空间中的位置给出各节点的分层编号。

具体操作步骤可描述如下：

先针对具体复杂网络依据商空间理论给出具体组成元素的表达形式：

对已给定的无向带权网络G(X，E)，由节点z∈X构成节点集X，由所有的边e构成边集E，边e上的权t(e)∈[0，d]，d是网络各边中的最大权值，有k个不同权值的边权集合表示为{d₁＞d₂＞...＞d_k}；根据等价关系R(d_i)，i＝1，...，k，连接权值大于等于d_i的边e的节点属于一个等价类，对应的商空间为 $X_i=\{x_1^i,...,x_{n_i}^i\},i=1,...,k;$

记节点集X＝X₀，X中的元素用x_j ⁰表示，网络中边上的权值大于等于d₁的所有边构成的集合是边集E₀，即边 $e=(x_j^0,x_t^0)\∈E_0\⇔t\left((x_j^0,x_t^0)\right)\≥d_1,$ 其边以 $e(x_j^0,x_t^0)=(x_j^0,x_t^0)$ 表示，得商空间(X₀，E₀)；

商空间X₁中元素x_j ¹表示等价关系R(d₁)中的一个等价类，网络中边上的权值大于等于d₂且小于d₁的所有边构成的集合是边集E₁，即 $(x_j^1,x_t^1)\∈E_1\⇔\∃x_j^0,$ $x_t^0\∈X,$ $x_j^0\∈x_j^1,$ $x_t^0\∈x_t^1,$ $t\left((x_j^0,x_t^0)\right)\≥d_2;$ 节点集X中边的集合 $e(x_j^1,x_t^1)=\left\{((x_j^0,p_1\left(x_j^0\right)),(x_t^0,p_1\left(x_t^0\right)))\right|\∀x_j^0,x_t^0\∈X,x_j^0\∈x_j^1,x_t^0\∈x_t^1,t\left((x_j^0,x_t^0)\right)\≥d_2\},$ 标记为e_jt ¹；得商空间(X₁，E₁)；

商空间X_i中元素x_j ⁱ表示等价关系R(d_i)中的一个等价类，网络中边上的权值大于等于d_i+1且小于d_i的所有边构成的集合是边集E_i，即 $(x_j^i,x_t^i)\∈E_i\⇔\∃x_j^0\∈{x^i}_j,x_t^0\∈x_t^i,t\left((x_j^0,x_t^0)\right)\≥d_{i+1};$ 节点集X中边的集合 $e(x_j^i,x_t^i)=\left\{((x_j^0,p_1\left(x_j^0\right),...,p_i\left(x_j^0\right)=x_j^i),(x_t^0,p_1\left(x_t^0\right),...,p_i\left(x_t^0\right)=x_t^i))\right|\∀x_j^0\∈x_j^i,x_t^0\∈x_t^i,t\left((x_j^0,x_t^0)\right)\≥d_{i+1}\},$ 标记为e_jt ⁱ；得到商空间记为：(X_i，E_i)，i＝0，1，...，k；

对各商空间X_i中的元素排序，记为 $X_i=\{x_1^i,...,x_{n_i}^i\},i=1,...,k,$ 将各商空间按粒度从细到粗排列构成一个递阶商空间链X₀＞X₁＞...＞X_k；

将节点集X上的元素用分层编号表示：设z∈X，用k+1维整数表示如下：z＝(z₀，z₁，...，z_k)，设p_i：X→X_i是自然投影，令 $p_i\left(z\right)=x_t^i,$ z在X_i中属于第t个元素，则z_i＝t；

对商空间(X_i，E_i)的每个元素x_m ⁱ，引入其对应商空间的矩阵P_m ⁱ，设x_m ⁱ是由X_i-1中s个元素构成，则作s×s维矩阵

其中：φ表示在商空间(X_i-1，E_i-1)拓扑图中在x_t ^i-1与x_j ^i-1之间没有边，e((x_t ^i-1，x_j ^i-1))包含一个或多个值，表示x_t ^i-1和x_j ^i-1之间存在一条或多条路径；由 $p_m^i\left(\mathrm{tj}\right)=(a,b)$ 与 $p_m^i\left(\mathrm{jt}\right)=(b,a)$ 构成反对称矩阵P_m ⁱ；于是商空间X_i的拓扑结构可由{P_j ⁱ，j＝1，...，m}表示；

由上述根据等价关系R(d₁)对所述无向带权网络G(X，E)进行的操作得到若干个等价类，得商空间(X₁，E₁)， $X_1=\{x_1^1,...,x_{n_1}^1\},$ 其对应的矩阵为P₁ ¹，...，P_n1 ¹；根据等价关系R(d₂)对商空间(X₁，E₁)进行操作得到若干个等价类，得商空间(X₂，E₂)， $X_2=\{x_1^2,...,x_{n_2}^2\},$ 其对应的矩阵为P₁ ²，...，P_n2 ²；根据等价关系R(d₃)对商空间(X₂，E₂)进行操作得到若干个等价类，得商空间(X₃，E₃)， $X_3=\{x_1^3,...,x_{n_3}^3\},$ 其对应的矩阵为P₁ ³，...，P_n3 ³；…，依次类推，…；根据等价关系R(d_i)对商空间(X_i-1，E_i-1)进行操作得到若干个等价类，得商空间(X_i，E_i)， $X_i=\{x_1^i,...,x_{n_i}^i\},$ 其对应的矩阵为P₁ ⁱ，...，P_ni ⁱ，1≤i≤k，k是边权集合中元素个数，一直操作到商空间(X_j，E_j)中X_j，1≤j≤k只有一个元素为止或到商空间(X_k，E_k)；对各商空间X_i中的元素排序，将各商空间按粒度从细到粗排列构成一个递阶商空间链X₀＞X₁＞...＞X_j，最后将节点集X上的元素用分层结构表示，得节点集X上所有元素的分层编号z＝(z₀，z₁，...，z_k)，z∈X，其中j＜k时，z＝(z₀，z₁，...，z_j)，z∈X，至此，即完成了对网络G(X，E)的商空间粒度分类；此时，若j＜k，则网络分类得到的商空间(X_j，E_j)中只有一个元素；若j＝k，则网络分类得到的最后一个商空间(X_k，E_k)只有一个元素或所有商空间中都不只一个元素；

上述符号中，“∈”表示“属于”，“”表示“任意”，“”表示“存在”，“”表示“等价于”。

本发明中所述的无向带权网络，是包括交通网络、电力网络或计算机网络在内的复杂网络。

对于道路交通网络，可将模型中的节点z对应为城市、乡镇等具体地点以及各个叉路口，模型中的边e表示城市、乡镇以及各个叉路口之间有道路，网络边e的权值t(e)是根据公路的路段、路道和车速状况来设定，可根据公路的路段类型、路面宽度，允许行车时速、红绿灯设置间距来设定：对于路段好、路面宽、允许时速大、红绿灯间距大的路段，所对应的网络边的权值大，反之对应的权值小。

对于电力网络，可将模型中的节点z对应为配电变压器、升压器和降压器，模型中的边e表示配电变压器、升压器和降压器之间有线路，边e的权值t(e)是根据输送线路的输送电压、线路总长度、输送功率等来设定：其输送电压高、线路总长度短和输送功率大的对应的权值大，反之权值小。

对于计算机网络，可将模型中的节点z对应为用户或路由器，模型中的边e表示用户、路由器之间有网络线路，边e的权值t(e)是根据网络线路的路径长度、时延、带宽、负载和通讯成本来设定：网络线路负载小、通讯成本低、带宽大、时延少和路径短的权值大，反之权值小。

本发明的复杂网络商空间模型的构建可利用计算机来实现，其操作过程为：

用二维数组W[N][N]来存储无向带权网络G(X，E)，对于大规模的复杂网络，可以用文件存放，访问无向带权网络G(X，E)时可以逐行读取文件；用数组D[k]存放边权集合{d₁＞d₂＞...＞d_k}；用数组P[]来表示商空间(X_i，E_i)的每个元素x_m ⁱ对应商空间的矩阵P_m ⁱ的含义，数组中的对象是链表；用链表X存储商空间(X_i，E_i)中节点集X分层状况，用一维数组point_num[N]来存放每个节点z分层编号z＝(z₀，z₁，...，z_k)序列，N为无向带权网络G(X，E)节点数，L为粒度分层次数；

先初始化数组P[]为空，链表X初始为节点集X中元素构成的链表，数组point_num[]初始是节点集X中元素的标号，L赋值为0；

再从二维数组W[N][N]读取网络，取其中大于等于D[L]，小于D[L-1]，当L＝0时，只取其中大于等于D[L]的数值，对数值大于等于D[L]的边记录在数组P[]中P[L+1]，根据P[L+1]可以得到商空间X₁，来更新链表X，再更新数组point_num[]，L在原有基础上加1；

若链表X只有一个点，程序结束；否则当L不等于k，转向步骤2，L等于k，程序结束；

最后得到的复杂网络商空间模型在计算机存储时只要存入递阶商空间链和每个节点分层编号。

由本发明上述构建方法得到的复杂网络商空间模型，是无向带权网络基于网络中边上权值的不同对节点粒度分类的层次网络；其特征在于：按等价关系R(d_i)粒度分类的递阶商空间链，得到每个节点的分层编号。

由本发明的上述构建方法得到的复杂网络商空间模型，是对于一切可抽象成点、边的无向带权网络的实际复杂对象，利用网络边上权值的不同进行等价关系分类，形成商集，构成对应的商空间，所实现其商空间模型的分层构建。初始的网络是粒度最细的商空间，利用等价关系分类，将复杂网络构建成粒度从细到粗的顺序排列的一个递阶商空间链，再根据每个节点在递阶商空间链上不同商空间中的位置给出各节点的分层编号。分类到粒度最粗的商空间时，有两种可能情况出现：一，网络形成的粒度最粗商空间中只有一个元素，此种情况出现就可以终止分类；二，网络形成的粒度最粗商空间中不只一个元素，这表明此网络有多个连通分支，而其中一些节点间无通路。

由于本发明利用商空间理论中的等价关系R(d_i)的表示，引入商空间模型的粒度分层思想将具有同一个级别权值边归类于同一个等价类中，使得商空间(X_i-1，E_i-1)中的商集的不同元素在粒度较粗的商空间(X_i，E_i)中的商集中属于同一个元素中，体现出复杂网络的边e的权值t(e)分布状况的结构特征，也为复杂网络的分层表示提供了分层方法。依据等价关系R(d_i)逐步构成递阶商空间链X₀＞X₁＞...＞X_k有利于形成不同粒度世界，把复杂网络的边e的权值t(e)分布状况充分地体现出来。获得每个节点z分层编号z＝(z₀，z₁，..，z_k)的过程是认识复杂网络中节点z在该复杂网络中地位：其它节点到此节点的路径状况。从总体上看，复杂网络商空间模型的构建从定量上反映了复杂网络的特征，该模型为复杂网络中节点间的“最佳路径”搜索和对于具体的大规模的复杂网络在计算机应用上的复杂网络存储的瓶颈问题提供了方便；本发明中对商空间(X_i，E_i)的每个元素x_m ⁱ引入对应商空间的矩阵P_m ⁱ表示法，是为了便于分层表示，由此只需要存入每个商空间(X_i，E_i)的每个元素x_m ⁱ对应商空间的矩阵P_m ⁱ以代替存入递阶商空间链，因而可大大减少空间开支。

根据上述针对具体网络构建的复杂网络商空间模型中任意两节点z，z′的分层编号(z₀，z₁，...，z_k)和(z′₀，z′₁，...，z′_k)中对应编号的不同个数，即可直观地发现两节点之间的“最佳路径”的路径分布状况，根据其递阶商空间链中同一商空间下不同元素之间形成的拓扑图即可找出网络中任意两节点之间的“最佳路径”。

由此，基于复杂网络商空间模型的“最佳路径”搜索就可依据本发明构建的复杂网络商空间模型的递阶商空间链和每个节点分层编号为复杂网络中要搜索的起点和终点找到其分层编号，从粒度最粗的商空间开始搜索两点的连通路径，接着从粒度较粗的商空间中搜索，逐步细化商空间，一直到粒度最细的商空间为止来求复杂网络中任意两点的“最佳路径”，并且还可以同时搜索出网络中多条“最佳路径”。通过建立的复杂网络的商空间模型基础上进行路径搜索，在道路交通网络中最大可能的搜索出主要道路、路况好的道路，设计了快速、实用、面向驾驶员的人性化路径搜索算法，并能解决城市内、城市间的最佳行车路线；在电力***中为电力运输选择高压、低损耗的输送路线；在计算机网络中为网络用户找到高流量的网络路径，解决了试探性路径搜索的盲目和无方向性的复杂性。

还可以借助于计算机进行复杂网络商空间模型的“最佳路径”搜索，将复杂网络商空间模型的递阶商空间链和每个节点z分层编号z＝(z₀，z₁，...，z_k)存入内存，先为复杂网络中要搜索的起点和终点找到其分层编号，从分层编号的最后一个编号z_k开始比较来搜索两点的“最佳路径”一直到z₀，即从粒度最粗的商空间开始搜索两点的“最佳路径”，接着从粒度较粗的商空间中搜索，逐步细化商空间，一直到粒度最细的商空间(X₀，E₀)为止，从而可以快速搜索出任意两点的“最佳路径”，并可以同时搜索出复杂网络中多条“最佳路径”。

附图说明：

图1为一个10个节点的无向带权网络图的复杂网络商空间模型分类拓扑图。

具体实施方式：

对于一个无向带权网络，其网络模型可以应用于道路交通网、电网、互联网等网络上。以下分别给出本发明的复杂网络商空间模型在不同类型无向带权网络下的具体使用的举例说明。

实施例1：构建道路交通网络的复杂网络商空间模型

根据中国《公路工程技术标准二》将公路划分为五个等级，城市道路分为快速路、主干路、次干路及支路四类。具体的城市路段通常包括高速公路、街、路、巷、道等多种类型。在城市、城乡和城镇间，公路路段有高速公路、国道、省道和乡镇公路等，路道有4车道、3车道、2车道和单车道等。在所要建立的道路交通网络图中，其网络G(X，E)，节点z可对应为城市、乡镇等具体地点以及各个叉路口，网络边e上的权t(e)是根据公路的路段、路道和车速状况来决定。在对于某一有公路相通的城镇集合地区构建道路交通网络图时，可将其节点z对应为城市的具体地点和各个叉路口，网络边e上的权t(e)则可根据公路的路段类型、路面宽度，允许行车时速、红绿灯设置间距来设定：对于路段好、路面宽、允许时速大、红绿灯间距大的路段，所对应的网络边的权值大，反之对应的权值小。

若选取的某一地区城市间公路网络中的城市地点、各个叉路口按某种顺序标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；城市间的交通公路状况用带权值的网络边e表示：无公路连接的两城市间的网络边权值是0，其它网络边权值的大小由公路的路段、路道和车速状况来决定，例如可将4车道和车速是80km/h以上的高速公路其网络边的权值表示为10，而权值5则表示网络边是国道、3车道和车速是80km/h，权值3表示网络边是省道、2车道和车速是60km/h，权值1表示网络边是城市、乡镇公路、单车道和车速是低于60km/h，由此建立起一个无向带权的道路交通复杂网络共有10个点记为节点集X{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}的商空间模型，设其边e上的权t(e)为：{10，5，3，1}；由上面设定条件所对应出其节点1和2、3和4、6和9之间权值分别是10，节点2和4、5和6、7和10、8和10之间的权值分别为5，节点2和5、3和7、5和8、6和7之间的权值分别是3，节点1和3、4和6、4和7、7和9、8和9、9和10之间权值分别为1，其它节点间无相连。

则其复杂网络商空间模型的构建过程为：节点1和2、3和4、6和9之间权值是10，故(X₀，E₀) $x_1^0\→x_2^0,$ $x_3^0\→x_4^0,$ $x_6^0\→x_9^0,$ x₅ ⁰，x₇ ⁰，x₈ ⁰，x₁₀ ⁰，共有10个元素。

R(10)等价类：将网络中边上的权值大于等于10的构成一个等价类，节点1和2是一个等价类，3和4是一个等价类，6和9是一个等价类，得商集

共有7个元素，其对应的矩阵如下：节点1和2之间权值是10，有 $P_1^1=\begin{array}{}\end{array}\left(\begin{array}{cc}1& \left(\mathrm{1,2}\right)\\ & 1\end{array}\right),$ 节点3和4之间权值是10，有 $P_2^1=\left(\begin{array}{cc}1& \left(\mathrm{3,4}\right)\\ & 1\end{array}\right),$ 节点6和9之间权值是10，有 $P_3^1=\left(\begin{array}{cc}1& \left(\mathrm{6,9}\right)\\ & 1\end{array}\right),$ $P_4^1=P_5^1=P_6^1=P_7^1=\left(1\right);$ 得商空间(X₁，E₁)，由X₁中7个元素构成，由于节点2和4、5和6、7和10、8和10之间的权值为5，故商空间(X₁，E₁)中x₁ ¹与x₂ ¹相连，x₃ ¹与x₄ ¹有边，x₅ ¹、x₆ ¹分别与x₇ ¹相连，其它没有边。

R(5)等价类：将网络中边上的权值大于等于5，小于10的构成一个等价类，节点x₁ ¹和x₂ ¹是一个等价类，x₃ ¹和x₄ ¹是一个等价类，x₅ ¹、x₆ ¹和x₇ ¹是一个等价类，得商集 $X_2=\{x_1^2=(\mathrm{1,2,3,4},),x_2^2=\left(\mathrm{5,6,9}\right),x_3^2=\left(\mathrm{7,8,10}\right)\},$ 共有三个元素，其对应的矩阵如下：节点2和4之间权值是5，有 $P_1^2=\left(\begin{array}{cc}1& (\left(\mathrm{2,1}\right),\left(\mathrm{4,2}\right))\\ & 1\end{array}\right),$ 节点5和6之间权值是5，有 $P_2^2=\left(\begin{array}{cc}1& (\left(\mathrm{5,3}\right),\left(\mathrm{6,4}\right))\\ & 1\end{array}\right),$ 节点7和10、8和10之间权值是5，有 $P_3^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& (\left(\mathrm{7,5}\right),\left(\mathrm{10,7}\right))\\ & 1& (\left(\mathrm{8,6}\right),\left(\mathrm{10,7}\right))\\ & & 1\end{array}\right);$ 得商空间(X₂，E₂)，由X₂中3个元素构成，由于节点2和5、3和7、5和8、6和7之间的权值是3，故商空间(X₂，E₂)中x₁ ²、x₂ ²和x₃ ²构成完全连通图。

R(3)等价类：将网络中边上的权值大于等于3，小于5的构成一个等价类，x₁ ²、x₂ ²和x₃ ²是一个等价类，有 $x_1^3=\left(\mathrm{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\right),$ 商空间(X₃，E₃)只有一个元素其矩阵如下：节点2和5、3和7、5和8、6和7之间的权值是3，有 $P_1^3=\left(\begin{array}{ccc}1& (\left(\mathrm{2,1,1}\right),\left(\mathrm{5,3,2}\right))& (\left(\mathrm{3,2,1}\right),\left(\mathrm{7,5,3}\right))\\ & 1& (\left(\mathrm{5,3,2}\right),\left(\mathrm{8,6,3}\right))|(\left(\mathrm{6,4,2}\right),\left(\mathrm{7,5,3}\right))\\ & & 1\end{array}\right);$ 得商空间(X₃，E₃)，X₃中只有一个元素构成拓扑图。构成一个递阶商空间链X₀＞X₁＞X₂＞X₃，最后将X上的元素用分层结构表示，节点1在X₀，X₁，X₂，X₃中都是第一个元素，故有1＝(1，1，1，1)，节点2在X₀中是第二个元素，在X₁，X₂，X₃中都是第一个元素，故有2＝(2，1，1，1)，……，节点10在X₀中是第十个元素，在X₁中是第七个元素，在X₂中是第三个元素，在X₃中是第一个元素，故有10＝(10，7，3，1)。

可得节点分层编号：1＝(1，1，1，1)，2＝(2，1，1，1)，3＝(3，2，1，1)，4＝(4，2，1，1)，5＝(5，3，2，1)，6＝(6，4，2，1)，7＝(7，5，3，1)，8＝(8，6，3，1)，9＝(9，3，2，1)，10＝(10，7，3，1)。

根据复杂网络商空间模型构建方法中任意两节点的分层编号可以直观的发现两节点的“最佳路径”的路径分布状况，如节点1和2之间分层编号只有在第一个位置不同，其路径权值比较大，也比较好找，而实际上节点1和2之间是高速公路、4车道和车速是80km/h的路径，可以看出反应了实际的一些情况；节点1和10之间分层编号差异大，则其路径权值分布可以看出不仅有10，5还有3，路径也比较难发现，实际上从节点1到10的“最佳路径”是1-＞2-＞4-＞3-＞7-＞10。根据其递阶商空间链可以找出网络中任意两节点的“最佳路径”。

图1给出了一个10个节点的无向带权网络图的复杂网络商空间模型分类拓扑图。如图1中所示：一个无向带权网络，共有10个点记为{x₁ ⁰，x₂ ⁰，x₃ ⁰，x₄ ⁰，x₅ ⁰，x₆ ⁰，x₇ ⁰，x₈ ⁰，x₉ ⁰，x₁₀ ⁰}，节点x₁ ⁰和x₂ ⁰、x₃ ⁰和x₄ ⁰、x₆ ⁰和x₉ ⁰之间权值是10，节点x₂ ⁰和x₄ ⁰、x₅ ⁰和x₆ ⁰、x₇ ⁰和x₁₀ ⁰、x₈ ⁰和x₁₀ ⁰之间的权值为5，节点x₂ ⁰和x₅ ⁰、x₃ ⁰和x₇ ⁰、x₅ ⁰和x₈ ⁰、x₆ ⁰和x₇ ⁰之间的权值是3，节点x₁ ⁰和x₃ ⁰、x₄ ⁰和x₆ ⁰、x₄ ⁰和x₇ ⁰、x₇ ⁰和x₉ ⁰、x₈ ⁰和x₉ ⁰、x₉ ⁰和x₁₀ ⁰之间权值为1，其它节点间无相连，节点x₁ ⁰和x₂ ⁰、x₃ ⁰和x₄ ⁰、x₆ ⁰和x₉ ⁰之间都有一个细线的小椭圆，共有三个，表示它们是R(10)中的等价类，节点x₁ ⁰、x₂ ⁰、x₃ ⁰和x₄ ⁰，x₅ ⁰、x₆ ⁰和x₉ ⁰之间有以粗黑线圈出的两个大椭圆以及x₇ ⁰、x₈ ⁰和x₁₀ ⁰之间有以粗黑虚线圈出的大椭圆，表示它们是R(5)中的等价类，从而看出是一个递阶商空间链形成的拓扑图，从中可以很容易找出任意两节点的“最佳路径”：先在粗黑线圈的三个大椭圆中找除点1和点10的位置，发现左边的粗黑线圈的大椭圆中有点1，右边粗黑虚线圈的大椭圆中有点10，连接这两个大椭圆的边是点3和点7，则点3与点7连成的边在点1到10的路径中，再找点1到点3的路径和7到10的路径，在找点1到点3的过程中，在左边的粗黑线圈的大椭圆中包含两个细线的小椭圆将点1和点3分在不同的等价类中，两个细线的小椭圆是由点2和点4之间的边连接，则点2和点4连成的边在所求的路径中，点1和点2、点4和点3、点7和点10之间没有再小的等价关系来分类，边上的权值都是10，故可以搜索到点1到点10的“最佳路径”是1-＞2-＞4-＞3-＞7-＞10。

根据复杂网络商空间模型可以快速搜索网络中任意两节点的“最佳路径”，对于网络在复杂网络商空间模型中搜索从点1到点10的路径其步骤如下：

将起点用分层表示：x＝(1，1，1，1)，y＝(10，7，3，1)，因为x₃＝y₃所以从1到10最大的路径容量为d₃＝3；

作起终点序列：((1，1，1，1)，(10，7，3，1))，因x₃＝y₃＝1，故在矩阵P₁ ³中求路径；

求x，y在P₁ ³中的连通路径，在商空间(X₃，E₃)中找出(X₂，E₂)中的x₃＝1，y₃＝3在X₃的具体元素中位置是其唯一的一个元素的1，3位置，故取P₁ ³[1][3]：((3，2，1)，(7，5，3))，现将它***x，y之间得：

((1，1，1，1)，(3，2，1)，(7，5，3)，(10，7，3，1))[3，7]；

由((1，1，1，1)，(3，2，1))和((7，5，3)，(10，7，3))的第2个坐标相同，故分别在P₁ ²和P₃ ²中求各自的连通路径，由P₁ ²[1][2]，P₃ ²[1][3]得：((2，1)，(4，2))和((7，5)，(10，7))，***上述序列得

((1，1，1，1)，(2，1)，(4，2)，(3，2，1)，(7，5，3)，(7，5)，(10，7)，(10，7，3，1))[2，4]，[3，7]，[7，10]。

由((1，1，1，1)，(2，1))、((4，2)，(3，2，1))、((7，5，3)，(7，5))、((10，7)，(10，7，3，1))第1个坐标是相同的，故分别在P₁ ¹[1][2]，P₂ ¹[1][1]，P₇ ¹中求各自的连通路径得：

(1，2)，(4，3)，(7，7)，(10，10).***上述序列得

((1，1，1，1)，(1，2)，(2，1)，(4，2)，(4，3)，(3，2，1)，(7，5，3)，(7，7)，(7，5)，(10，7)，(10，10)，(10，7，3，1))

[1，2]，[2.4]，[4，3]，[3.7]，[7，7][7，10]，[10，10]；最后得：点1到点10的路径(1，2，4，3，7，10)；

上面所述10点网络的商空间模型的构建和“最佳路径”的搜索也可通过计算机操作来完成，步骤如下：

用二维数组W[N][N]来存储无向带权网络，用数组D[k]存放权值分类值，intD[]＝{10，5，3，1}；用数组P[]来表示商空间的矩阵P_m ⁱ的意思，数组中的对象是链表，用链表X存储商空间X_i节点分层状况，用一维数组point_num[N]来存放每个节点分层后的编号序列，N为节点数，本实施例中取N＝10。利用计算机操作如下：

1.初始化数组P[]为空，链表X为{1}-＞{2}-＞{3}-＞{4}-＞{5}-＞{6}-＞{7}-＞{8}-＞{9}-＞{10}，数组point_num[]是{{1，}{2，}{3，}{4，}{5，}{6，}{7，}{8，}{9，}{10，}}，L＝0；

2.从二维数组W[N][N]读取网络，取其中大于等于D[0](＝10)的数值，对数值大于等于10的边记录在数组P[]中，P[1]中有{{1，2；1，2}-＞{3，4；3，4}-＞{6，9；6，9}}，根据P[1]可以得到商空间X_i，来更新链表X{1，2}-＞{3，4}-＞{5}-＞{6，9}-＞{7}-＞{8}-＞{10}，再更新一维数组point_num[]{{1，1，}{2，1，}{3，2，}{4，2，}{5，3，}{6，4，}{7，5，}{8，6，}{9，4，}{10，7，}}，L在原有基础上加1；

3.从二维数组W[N][N]读取网络，取其中大于等于D[1](＝5)，小于D[0]的数值，对数值大于等于5小于10的边记录在P中，P[2]中有{{1，2；2，4}-＞{3，4；5，6}-＞{5，7；7，10}＞{6，7；8，10}}，根据P[2]可以得到商空间X₂，来更新链表X{1，2，3，4}-＞{5，6，9}-＞{7，8，10}，再更新一维数组point_num[]{{1，1，1，}{2，1，1，}{3，2，1，}{4，2，1，}{5，3，2，}{6，4，2，}{7，5，3，}{8，6，3，}{9，4，2，}{10，7，3，}}，L在原有基础上加1；

4.从二维数组W[N][N]读取网络，取其中大于等于D[2](＝3)，小于D[1]的数值，对数值大于等于3小于5的边记录在数组P[]中，P[3]中有{{1，2；2，5}-＞{1，3；3，7}-＞{2，3；5，8；6，7}}，根据P[3]可以得到商空间X₃，来更新链表X{1，2，3，4，5，6，9，7，8，10}，再更新一维数组point_num[]{{1，1，1，1}{2，1，1，1}{3，2，1，1}{4，2，1，1}{5，3，2，1}{6，4，2，1}{7，5，3，1}{8，6，3，1}{9，4，2，1}{10，7，3，1}}，由于链表X只有一个点，程序结束。

5.L＝4，将数组point_num[]中point_num[1]和point_num[10]从最后一个数开始比较，都是1，L＝3，比较倒数第二个，1、3是不同，在P[L＝3]中找{1，3；^*，^*}，找到{1，3；3，7}，从point_num[]中找point_num[3]和point_num[7]，由于L＝3，故有{3，2，1}{7，5，3}，在路径1、10之间***3、7，得到1、3、7、10，L＝2；

6.比较{1，1，1，1}{3，2，1}和{7，5，3}{10，7，3，1}，在P[L＝2]中找{1，2；^*，^*}和{5，7；^*，^*}，找到{1，2；2，4}和{5，7；7，10}，故有{2，1}{4，2}和{7，5}{10，7}，在路径中分别***2、4和7、10，得到1、2、4、3、7、10、10，L＝1；

7.比较{1，1，1，1}{2，1}、{4，2}{3，2，1}、{7，5，3}{7，5}、{10，7}{10，7，3，1}，在P[L＝1]中找{1，2；^*，^*}、{4，3；^*，^*}、  {7，7；^*，^*}、{10，10；^*，^*}，由于像{7，7；^*，^*}{10，10；^*，^*}没有必要找，只要找{1，2；^*，^*}、{4，3；^*，^*}，找到{1，2；1，2}、{3，4；3，4}，{3，4；3，4}不是与{4，3；^*，^*}完全匹配，故要对换其位置，有{4，3；4，3}。故可的1到10的路径是1、2、4、3、7、10。

应用复杂网络商空间模型可以方便地搜索任意两节点间的“最佳路径”，然后将“最佳路径”的数字编码对应于城市和各个叉路口的名称对应，即可以得到任意两个城市间的“最佳路径”。如果行车对于高速和国道、车道的要求不是很严格，只是对车速有要求，可以把权值是10的边改为5就行了。

通过构建复杂网络商空间模型，在此模型的基础上进行路径搜索，在道路交通网络中最大可能的快速搜索出主要道路、走路况好、面向驾驶员的人性化道路，这就解决了城市内、城市间的最佳行车路线。

实施例2：构建电力输送网络的复杂网络商空间模型

在电力***中是电力输送过程中，根据我国远距离输电的电压有110千伏、220千伏、330千伏，近年还建成了500千伏的超高压输电线路，以及国外还建有1150千伏的试验性超高压输电线路的具体实际情况，建立网络G(X，E)，节点z是各个配电变压器、升压器和降压器，边e上的权t(e)根据输送线路的输送电压、线路总长度、输送功率等来决定，其输送电压高、线路总长度短和输送功率大的对应的权值大，反之权值小。

现在选取某一区域的电力***，将该区域的各个配电变压器、升压器和降压器名称共12个按照一定的顺序来标号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，各个配电变压器、升压器和降压器的连接状况用带权的边e表示，无连接的权值是0，其它的权值根据输送线路的输送电压、线路总长度、输送功率等来决定，权值为9的边表示输送电压为500千伏、路径短、输送功率大，权值是7表示输送电压为330千伏、路径短、输送功率较大，权值是4的边表示输送电压为220千伏、路径较短、输送功率不大，权值为1的边表示输送电压为110千伏、路径长、输送功率小。建立复杂网络的商空间模型，对于一个无向带权网络G(X，E)，共有12个点记为X{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，设边e上的权t(e)为：{9，7，4，1}。节点1和2、4和5、6和7、9和10之间权值是9，节点2和3、8和9、8和11之间的权值为7，节点1和4、3和5、5和10、6和10、、7和8、10和11、11和12之间的权值是4，节点2和4、3和7、4和6、4和10、6和9、9和11、8和12之间权值为1，其它节点间无相连。

其网络的商空间分层表示过程：(X₀，E₀) $x_1^0\→x_2^0,$ $x_4^0\→x_5^0,$ $x_6^0\→x_7^0,$ $x_9^0\→x_{10}^0,$ x₃ ⁰，x₈ ⁰，x₁₁ ⁰，x₁₂ ⁰，共有12个元素。

R(9)等价类：得商集 $X_1=\{x_1^1=\left(\mathrm{1,2}\right),x_2^1=\left(3\right),x_3^1=\left(\mathrm{4,5}\right),x_4^1=\left(\mathrm{6,7}\right),x_5^1=\left(8\right),x_6^1=(9,10),x_7^1=\left(11\right),x_8^1=\left(12\right)\},$ 共有8个元素，其对应的矩阵如下： $P_1^1=\left(\begin{array}{cc}1& \left(\mathrm{1,2}\right)\\ & 1\end{array}\right),$ $P_2^1=\left(\begin{array}{cc}1& \left(\mathrm{4,5}\right)\\ & 1\end{array}\right),$ $P_3^1=\left(\begin{array}{cc}1& \left(\mathrm{6,7}\right)\\ & 1\end{array}\right),$ $P_4^1=\left(\begin{array}{cc}1& \left(\mathrm{9,10}\right)\\ & 1\end{array}\right),$ $P_5^1=P_6^1=P_7^1=P_8^1=\left(1\right);$ 得商空间(X₁，E₁)，由X₁中8个元素构成，其中x₁ ¹与x₂ ¹相连，x₅ ¹分别与x₆ ¹、x₇ ¹相连，其它没有边。

R(7)等价类：得商集 $X_2=\{x_1^2=\left(\mathrm{1,2,3}\right),x_2^2=\left(\mathrm{4,5}\right),x_3^2=\left(\mathrm{6,7}\right),x_4^2=\left(\mathrm{8,9,10,11}\right),x_5^2=\left(12\right)\}$ 共有5个元素，其对应的矩阵如下： $P_1^2=\left(\begin{array}{cc}1& (\left(\mathrm{2,1}\right),\left(\mathrm{3,2}\right))\\ & 1\end{array}\right),$ $P_2^2=\left(\begin{array}{ccc}1& (\left(\mathrm{8,5}\right),\left(\mathrm{9,6}\right))& (\left(\mathrm{8,5}\right),\left(\mathrm{11,7}\right))\\ & 1& 0\\ & & 1\end{array}\right),$ $P_3^2=P_2^4=P_5^2=\left(1\right);$ 得商空间(X₂，E₂)，由X₂中5个元素构成，x₁ ²与x₂ ²相连，x₂ ²与x₄ ²相连，x₃ ²与x₄ ²相连，x₄ ²与x₅ ²相连，其它没有边。

R(4)等价类： $x_1^3=\left(\mathrm{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\right)$ 只有一个元素其矩阵如下：

$P_1^3=\left(\begin{array}{ccccc}1& (\left(\mathrm{1,1,1}\right),\left(\mathrm{4,3,2}\right))|(\left(\mathrm{3,2,1}\right),\left(\mathrm{5,3,2}\right))& 0& 0& 0\\ & 1& 0& (\left(\mathrm{5,3,2}\right),\left(\mathrm{10,6,4}\right))& 0\\ & & 1& (\left(\mathrm{6,4,3}\right),\left(\mathrm{10,6,4}\right))|(\left(\mathrm{7,4,3}\right),\left(\mathrm{8,5,4}\right))& 0\\ & & & 1& (\left(\mathrm{11,7,4}\right),\left(\mathrm{12,8,5}\right))\\ & & & & 1\end{array}\right)$

；得商空间(X₃，E₃)，X₃中只有一个元素构成拓扑图。

节点分层编号：1＝(1，1，1，1)，2＝(2，1，1，1)，3＝(3，2，1，1)，4＝(4，3，2，1)，5＝(5，3，2，1)，6＝(6，4，3，1)，7＝(7，4，3，1)，8＝(8，5，4，1)，9＝(9，6，4，1)，10＝(10，6，4，1)，11＝(11，7，4，1)，12＝(12，8，5，1)。模型已经建好，根据模型搜索从点1到点11的一条“最佳路径”为(1，2，3，5，10，9，8，11)。

应用复杂网络商空间模型可以搜索任意两节点间的“最佳路径”，然后将“最佳路径”的数字编码对应于各个配电变压器、升压器和降压器名称对应，即可以得到任意两输送点间的“最佳路径”。

通过构建其复杂网络商空间模型，并在此模型的基础上方便了其路径搜索，在电力***中为电力运输选择高压、低损耗的输送路线。

实施例3：构建计算机网络中路由选择的复杂网络商空间模型

在计算机网络路由选择过程中，建立网络G(X，E)，，节点z是用户或路由器，边e上的权t(e)是由于节点间的路径长度、时延、带宽、负载和通讯成本来决定。在一个区域的内部，节点z是用户；在区域外部，节点z是路由器。在搜索路径时，先判断源和目的用户是否在同一个区域内，如果在同一个区域内，用节点z是用户的方法搜索；否则，判断源和目的用户的归属路由器，然后用节点z是路由器的方法搜索。对于边e上的权t(e)的确定，负载小、通讯成本低、带宽大、时延少和路径短的权值大，反之权值小。

现在选取某一区域的计算机网络***，将各个路由器按照一定的顺序来标号，各个配路由器的连接状况用带权的边e表示，无连接的权值是0，其它的权值根据路径长度、时延、带宽、负载和通讯成本等来决定，权值为10的边表示负载很小、通讯成本低、带宽大、时延少和路径短，权值是5表示负载小、通讯成本较低、带宽大、时延少和路径短，权值是3的边表示负载比较小、通讯成本较低、带宽不大、时延长和路径长，权值为1的边表示负载大、通讯成本大、带宽小、时延长和路径长。应用本发明的方法通过计算机仿真模拟了10⁴节点及10⁴节点以内的计算机网络***的网络，无向带权网络是分别根据随机网络模型、小世界网络模型和无标度网络模型来生成的，存储在文本文件中，分别用商空间粒度分类方法来构建复杂网络商空间模型，并在此基础上搜索了50对点的“最佳路径”，相比之下，Dijkstra算法和Floyd算法无法完成10⁴节点的路径搜索的计算机仿真实验，且对于10²和10³数量级的无向带权网络路径搜索时间也很长，搜索的路径不是“最佳路径”。结果表明：基于复杂网络商空间模型“最佳路径”搜索是很方便的。

应用复杂网络商空间模型可以方便地搜索任意两节点间的“最佳路径”，然后将“最佳路径”的数字编码对应于各个路由器名称对应，即可以得到任意两路由器间的“最佳路径”。

通过构建的复杂网络商空间模型，在此模型的基础上进行路径搜索，可以搜索出计算机网络中由高流量的网络路径组成的路线，在计算机网络***中提高了网络的吞吐量和速度。

Claims (8)

1.一种复杂网络商空间模型的构建方法，根据无向带权网络中边上权值的不同对节点粒度分类建立层次网络模型；其特征在于：从作为粒度最细商空间的初始网络开始，先在网络中提取不同权值构成边权集合，从该边权集合中选取最大的权值进行等价关系分类，根据等价关系对等于最大权值的边进行归并形成等价类，得到粒度较粗的商空间；然后再在边权集合中依次从次大权值开始从大到小选取权值进行等价关系分类，根据等价关系对所得到的粒度较粗的商空间中大于等于选取权值的边进行归并形成等价类，使同一等价类中网络节点的边上权值为大于等于等价关系选取的权值且小于上一个选取的权值，从而构成粒度更粗的商空间；继续依此操作直至分类到粒度最粗的商空间：对于连通网络该粒度最粗的商空间中只有一个元素，对于非连通网络则粒度最粗的商空间中元素个数等于其连通分支数目；将各商空间按粒度从细到粗排列形成一个递阶商空间链，再根据每个节点在递阶商空间链上不同商空间中的位置给出各节点的分层编号。

2.如权利要求1所述复杂网络商空间模型的构建方法，特征在于：

对已给定的无向带权网络G(X，E)，由节点z∈X构成节点集X，由所有的边e构成边集E，边e上的权t(e)∈[0，d]，d是网络各边中的最大权值，有k个不同权值的边权集合表示为{d₁＞d₂＞...＞d_k}；根据等价关系R(d₁)，i＝1，...，k，连接权值大于等于d₁的边e的节点属于一个等价类，对应的商空间为 $X_i=\{x_1^i,...,x_{n_i}^i\},i=1,...,k;$

记节点集X＝X₀，X中的元素用x_j ⁰表示，网络中边上的权值大于等于d₁的所有边构成的集合是边集E₀，即边 $e=(x_j^0,x_t^0)\∈E_0\⇔t\left((x_j^0,x_t^0)\right)\≥d_1,$ 其边以 $e(x_j^0,x_t^0)=(x_j^0,x_t^0)$ 表示，得商空间(X₀，E₀)；

商空间X₁中元素x_j ¹表示等价关系R(d₁)中的一个等价类，网络中边上的权值大于等于d₂且小于d₁的所有边构成的集合是边集E₁，即 $(x_j^1,x_t^1)\∈E_1\⇔\∃x_j^0,$ $x_t^0\∈X,$ $x_j^0\∈x_j^1,$ $x_t^0\∈x_t^1,$ $t\left((x_j^0,x_t^0)\right)\≥d_2;$ 节点集X中边的集合 $e(x_j^1,x_t^1)=\left\{((x_j^0,p_1\left(x_j^0\right)),(x_t^0,p_1\left(x_t^0\right)))\right|\∀x_j^0,x_t^0\∈X,x_j^0\∈x_j^1,x_t^0\∈x_t^1,t\left((x_j^0,x_t^0)\right)\≥d_2\},$ 标记为e_jt ¹；得商空间(X₁，E₁)；

商空间X_i中元素x_j ⁱ表示等价关系R(d_i)中的一个等价类，网络中边上的权值大于等于d_i+1且小于d_i的所有边构成的集合是边集E_i，即 $(x_j^i,x_t^i)\∈E_t\⇔\∃x_j^0\∈x_j^i,$ $x_t^0\∈x_t^i,t\left((x_j^0,x_t^0)\right)\≥d_{t+1};$ 节点集X中边的集合 $e(x_j^i,x_t^i)=\left\{((x_j^0,p_1\left(x_j^0\right),...,p_i\left(x_j^0\right)=x_j^i),(x_t^0,p_1\left(x_t^0\right),...,p_i\left(x_t^0\right)=x_t^i))\right|\∀x_j^0\∈x_j^i,x_t^0\∈x_t^i,t\left((x_j^0,x_t^0)\right)\≥d_{i+1}\},$ 标记为e_jt ⁱ；得到商空间记为：(X_i，E_i)，i＝0，1，...，k；

对各商空间X_i中的元素排序，记为 $X_i=\{x_1^i,...,x_{n_i}^i\},i=1,...,k,$ 将各商空间按粒度从细到粗排列构成一个递阶商空间链X₀＞X₁＞...＞X_k；

将节点集X上的元素用分层编号表示：设z∈X，用k+1维整数表示如下：z＝(z₀，z₁，...，z_k)，设p_i：X→X_i是自然投影，令 $p_i\left(z\right)=x_t^i,$ z在X_i中属于第t个元素，则z_i＝t；

对商空间(X_i，E_i)的每个元素x_m ⁱ，引入其对应商空间的矩阵P_m ⁱ，设x_m ⁱ是由X_i-1中s个元素构成，则作s×s维矩阵

m＝1，...，n_i；

其中：φ表示在商空间(X_i-1，E_i-1)拓扑图中在x_t ^i-1与x_j ^i-1之间没有边，e((x_t ^i-1，x_j ^i-1))包含一个或多个值，表示x_t ^i-1和x_j ^i-1之间存在一条或多条路径；由 $p_m^i\left(\mathrm{tj}\right)=(a,b)$ 与 $p_m^i\left(\mathrm{jt}\right)=(b,a)$ 构成反对称矩阵P_m ⁱ；于是商空间X_i的拓扑结构可由{P_j ⁱ，j＝1，...，m}表示；

由上述根据等价关系R(d₁)对所述无向带权网络G(X，E)进行的操作得到若干个等价类，得商空间(X₁，E₁)， $X_1=\{x_1^1,...,x_{n_1}^1\},$ 其对应的矩阵为P₁ ¹，...，P_n1 ¹；根据等价关系R(d₂)对商空间(X₁，E₁)进行操作得到若干个等价类，得商空间(X₂，E₂)， $X_2=\{x_1^2,...,x_{n_2}^2\},$ 其对应的矩阵为P₁ ²，...，P_n2 ²；根据等价关系R(d₂)对商空间(X₂，E₂)进行操作得到若干个等价类，得商空间(X₃，E₃)， $X_3=\{x_1^3,...,x_{n_3}^3\},$ 其对应的矩阵为P₁ ³，...，P_n3 ³；…，依次类推，…；根据等价关系R(d_i)对商空间(X_i-1，E_i-1)进行操作得到若干个等价类，得商空间(X_i，E_i)， $X_i=\{x_1^i,...,x_{n_i}^i\},$ 其对应的矩阵为P₁ ⁱ，...，P_ni ⁱ，1≤i≤k，k是边权集合中元素个数，一直操作到商空间(X_j，E_j)中X_j，1≤j≤k只有一个元素为止或到商空间(X_k，E_k)；对各商空间X_i中的元素排序，将各商空间按粒度从细到粗排列构成一个递阶商空间链X₀＞X₁＞...＞X_j，最后将节点集X上的元素用分层结构表示，得节点集X上所有元素的分层编号z＝(z₀，z₁，...，z_k)，z∈X，其中j＜k时，z＝(z₀，z₁，...，z_j)，z∈X，至此，即完成了对网络G(X，E)的商空间粒度分类；此时，若j＜k，则网络分类得到的商空间(X_j，E_j)中只有一个元素；若j＝k，则网络分类得到的最后一个商空间(X_k，E_k)只有一个元素或所有商空间中都不只一个元素；

上述符号中，“∈”表示“属于”，“”表示“任意”，“”表示“存在”，“”表示“等价于”。

3.如权利要求1所述复杂网络商空间模型的构建方法，特征在于所述无向带权网络是包括交通网络、电力网络或计算机网络在内的复杂网络。

4.如权利要求1所述复杂网络商空间模型的构建方法，特征在于对于道路交通网络，将模型中的节点z对应为城市、乡镇等具体地点以及各个叉路口，模型中的边e表示城市、乡镇以及各个叉路口之间有道路，网络边e的权值t(e)是根据公路的路段、路道和车速状况来设定，根据公路的路段类型、路面宽度，允许行车时速、红绿灯设置间距来设定：对于路段好、路面宽、允许时速大、红绿灯间距大的路段，所对应的网络边的权值大，反之对应的权值小。

5.如权利要求1所述复杂网络商空间模型的构建方法，特征在于对于电力网络，将模型中的节点z对应为配电变压器、升压器和降压器，模型中的边e表示配电变压器、升压器和降压器之间有线路，边e的权值t(e)是根据输送线路的输送电压、线路总长度、输送功率等来设定：其输送电压高、线路总长度短和输送功率大的对应的权值大，反之权值小。

6.如权利要求1所述复杂网络商空间模型的构建方法，特征在于对于计算机网络，将模型中的节点z对应为用户或路由器，模型中的边e表示用户、路由器之间有网络线路，边e的权值t(e)是根据网络线路的路径长度、时延、带宽、负载和通讯成本来设定：网络线路负载小、通讯成本低、带宽大、时延少和路径短的权值大，反之权值小。

7.如权利要求1所述复杂网络商空间模型的构建方法，特征在于利用计算机操作过程为：用二维数组W[N][N]来存储无向带权网络G(X，E)，对于大规模的复杂网络，可以用文件存放，访问无向带权网络G(X，E)时可以逐行读取文件；用数组D[k]存放边权集合{d₁＞d₂＞...＞d_k}；用数组P[]来表示商空间(X_i，E_i)的每个元素x_m ⁱ对应商空间的矩阵P_m ⁱ的含义，数组中的对象是链表；用链表X存储商空间(X_i，E_i)中节点集X分层状况，用一维数组point_num[N]来存放每个节点z分层编号z＝(z₀，z₁，...，z_k)序列，N为无向带权网络G(X，E)节点数，L为粒度分层次数；

先初始化数组P[]为空，链表X初始为节点集X中元素构成的链表，数组point_num[]初始是节点集X中元素的标号，L赋值为0；

再从二维数组W[N][N]读取网络，取其中大于等于D[L]，小于D[L-1]，当L＝0时，只取其中大于等于D[L]的数值，对数值大于等于D[L]的边记录在数组P[]中P[L+1]，根据P[L+1]可以得到商空间X₁，来更新链表X，再更新数组point_num[]，L在原有基础上加1；

若链表X只有一个点，程序结束；否则当L不等于k，转向步骤2，L等于k，程序结束；

最后得到的复杂网络商空间模型在计算机存储时只要存入递阶商空间链和每个节点分层编号。只取其中大于等于D[L]的数值，对数值大于等于D[L]的边记录在数组P[]中P[L+1]，根据P[L+1]可以得到商空间X₁，来更新链表X，再更新数组point_num[]，L在原有基础上加1；

若链表X只有一个点，程序结束；否则当L不等于k，转向步骤2，L等于k，程序结束；

最后得到的复杂网络商空间模型在计算机存储时只要存入递阶商空间链和每个节点分层编号。

8.一种由权利要求1所述方法构建的复杂网络商空间模型，是无向带权网络基于网络中边上权值的不同对节点粒度分类的层次网络；其特征在于：按等价关系R(d_i)粒度分类的递阶商空间链，得到每个节点的分层编号。

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