CN100439892C - 不规则结构物体转动惯量的辨识方法 - Google Patents

Abstract

不规则结构物体转动惯量的辨识方法属于物体转动惯量测量及自动辨识技术应用领域，其特征在于它用装在刚性梁上的四根弹簧对称地支撑在被测物底面，在弹簧内侧处同样对称于被测物装上四个电磁铁，再在垂直于各电磁铁的被测物上方固定四个位移传感器，然后再把电磁铁依次和压控电流源和DSP相连接；只要把激励信号输入DSP，使它两次输出四个能分别对应于X、Y轴扭摆的电压，便能用公知的自动辨识技术估计被测物和电磁铁分别共同绕X、Y轴的转动惯量，再从中减去电磁铁的转动惯量便可获得被测物的转动惯量。它具有适应性强、方法简单及辨识精度高的优点。

Description

不规则结构物体转动惯量的辨识方法

技术领域

不规则结构物体转动惯量的辨识方法属于物体转动惯量测量技术领域，尤其是涉及复杂不规则物体转动惯量的测量方法以及辨识技术的应用。

背景技术

在一些大型运动***的设计中，***的转动惯量是一个重要的技术参数。以汽车为例，它的三轴向转动惯量(汽车绕过其质心的铅垂轴Z的横摆转动惯量J_z；绕过其质心的水平横轴Y的俯仰转动惯量J_y；绕汽车侧倾轴线m-m的侧倾转动惯量J_m)是汽车行驶动力学中的重要技术参数。它们对汽车的操纵稳定性、乘坐舒适性和行驶安全性等有着重要的影响。掌握这些技术参数是进行汽车动力学研究分析的基本前提。

在已知的技术中，获得物体转动惯量的通用方法可分为两大类。一种是通过对物体材料和结构的详细分析来计算转动惯量。例如Ansys有限元分析软件，以及和文献“计算分段线性矩梁变形的新方法，山东建筑工程学院学报，Vol.11，no.3，1996”中提到的分段线性计算方法。这一类方法的不足在于它要求被测物体材质均匀，成分已知，并且结构规则，否则会因为计算误差太大而无法应用。另一类方法是将待测物体放在专用的转动惯量测量仪上进行测量。如专利CN2493919Y提出了一种利用扭振法测定异形物体转动惯量的装置，专利US6098025则利用电机带动被测物旋转，通过测量转动角速度和电机电流来计算被测物的质心和转动惯量，由此提出了一套装置和方法。虽然这类方法可以应用于不规则外形物体转动惯量，但对于被测物的体积和质量都有很高的限制，无法应用于一些大型***。除了这些通用性的测量方法，还有一些已知技术是用于测量特定对象的转动惯量。如专利US5656768提出了一种测量内燃机转动惯量的方法，通过测量电机加速和减速过程中的转速和转矩来确定转动惯量，显然，这一方法应用范围过于单一。专利CN2527992Y公开的汽车动力总成质心及惯量矩测试台是利用复摆原理和动力总成的具体机构而设计的，这一方法的不足在于，该装置结构大而复杂，安装和实验操作要求高，对被测物的体积和重量仍有一定限制，而且是专用于汽车部件。文献“转动惯量测试台磁悬浮***电磁阻尼的研究，西安交通大学学报，vol.35，no.12，2001”中提到的转动惯量测试台仍然是使用扭摆法测量。它利用电磁轴承将测量平台和被测物悬浮，由叉拨电机带动拨盘转动，使工作平台绕其轴作自由扭摆运动，通过测量转角和转矩计算被测物的转动惯量。这一方法的不足在于要求平台悬浮，因而需要设计反馈控制器，这是一件相当困难的事情。

由于缺乏简便的测量方法，实际工程中常常采用一些经验公式估算转动惯量值。这种方法缺乏通用性，计算结果的误差也比较大。

***辨识是建立对象数学模型和估计未知参数的一种理论和方法。其手段是从含有噪声的实验数据中提取被研究对象的数学模型或估计要求的参数。一种常用的辨识方法是最小二乘法。其特点是不需要任何关于测量误差和外部干扰的统计信息，并可以从理论上证明在很弱的条件下提供一致估计。同时，这一方法还具有计算简单的特点。这一方法通常使用最长线性移位寄存器序列(简称M序列)信号作为***的输入激励信号。M序列信号是一种伪随机码。它具有近似白噪声的性质，可保证有好的辨识精度，而且工程上易于实现。

发明内容

本发明的目的是为克服已有技术的不足之处，提出一种基于***辨识技术的不规则结构物体转动惯量的估计方法。采用本发明，可以测量任意不规则结构物体的转动惯量，而且对于被测物的形状、体积、结构都没有限制，具有很好的通用性和可操作性，可以用于测量诸如汽车等大型***的转动惯量。

该方法的实施所需硬件设施由刚性支撑梁(1)、电磁铁(2)、弹簧(3)、DSP(数字信号处理器，内含D/A)(4)、位移传感器(5)、压控电流源(6)等构成，用以测量被测物体(7)的转动惯量。***框图如图1所示，对角剖面图如图3所示。

本发明中物体转动惯量的估计包括以下步骤：

1.将被测物体用4根弹簧支撑在刚性梁上，支撑点位于图2所示的A₁、A₂、A₃、A₄处；

2.在被测物体上安装4个电磁铁和4个位移传感器，安装点位于图2所示的B₁、B₂、B₃、B₄处，剖面图如图3所示；

3.连接DSP、压控电流源和电磁铁；

4.设计一个M序列信号U，作为辨识激励信号，利用公知的编程技术使图1所示的DSP输出满足u₁＝u₂＝-u₃＝-u₄＝U(或u₁＝-u₂＝-u₃＝u₄＝U)，并记录此时4个位移传感器的测量数据 ${\hat{z}}_1(=\mathrm{\Δ}{z}_1),{\hat{z}}_2(=\mathrm{\Δ}{z}_2),{\hat{z}}_3(=\mathrm{\Δ}{z}_3),{\hat{z}}_4(=\mathrm{\Δ}{z}_4);$

5.根据输入的电压信号u₁和位移传感器的测量数据

在计算机上用最小二乘法或其他辨识方法得到输入输出之间的传递函数；

6.根据辨识的传递函数，计算被测物体绕Y轴(或X轴)的转动惯量。

辨识过程

在以下1-4部分的分析中，将装上电磁铁的被测物体作为一个整体看待，简称物体。其辨识过程如下：

1.建立物体的运动模型，几何位置、尺寸以及方向坐标如图2所示。

压控电流源的输入输出方程：

i_n＝cu_n+j_n，n＝1～4    (1)

式中i_n为电磁铁线圈中电流；c为常数，由压控电流源本身特性决定；j为物体处于初始平衡位置时的线圈电流；u_n为输入的控制电压。

电磁铁提供的电磁吸力方程：

$F_n=K\frac{{i_n}^2}{{z_n}^2},n=1~4---\left(2\right)$

式中F_n为电磁铁提供的对物体的电磁吸力；K_n为常数，由线圈本身特性决定；z_n为支撑梁与电磁铁中心在Z轴方向上的距离。

弹簧提供的弹性力方程：

F_n′＝kz_n′，n＝1～4    (3)

式中F_n′为弹簧提供的对物体的弹性力；k为弹簧的倔强系数；z_n′为弹簧的形变长度。物体的运动方程：

$M\frac{d^{2}z}{{\mathrm{dt}}^2}=F_z---\left(4\right)$

$T_x=I_x\frac{d^2\mathrm{\α}}{{\mathrm{dt}}^2}---\left(5\right)$

$T_y=I_y\frac{d^2\mathrm{\β}}{{\mathrm{dt}}^2}---\left(6\right)$

式中，M为物体的质量；z为物体质心在Z轴方向上的位移；F_z为物体在Z轴方向上所受合力；T_x为物体相对于X轴所受的合力矩；I_x为物体绕X轴的转动惯量；α为物体绕X轴的转角；T_y为物体相对于Y轴所受的合力矩；I_y为物体绕Y轴的转动惯量；β为物体绕Y轴的转角。

几何关系：

$\left[\begin{array}{c}{\hat{z}}_1\\ {\hat{z}}_2\\ {\hat{z}}_3\\ {\hat{z}}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{z}_1\\ \mathrm{\Δ}{z}_2\\ \mathrm{\Δ}{z}_3\\ \mathrm{\Δ}{z}_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}z+\frac{1}{2}l\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}+\frac{1}{2}b\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\\ z+\frac{1}{2}l\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}-\frac{1}{2}b\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\\ z-\frac{1}{2}l\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}-\frac{1}{2}b\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\\ z+\frac{1}{2}l\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}+\frac{1}{2}b\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(7\right)$

$\left[\begin{array}{c}{{\hat{z}}_1}^{\′}\\ {{\hat{z}}_2}^{\′}\\ {{\hat{z}}_3}^{\′}\\ {{\hat{z}}_4}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δ}{z_1}^{\′}\\ \mathrm{\Δ}{z_2}^{\′}\\ \mathrm{\Δ}{z_3}^{\′}\\ \mathrm{\Δ}{z_4}^{\′}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}z+\frac{1}{2}L\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}+\frac{1}{2}B\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\\ z+\frac{1}{2}L\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}-\frac{1}{2}B\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\\ z-\frac{1}{2}L\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}-\frac{1}{2}B\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\\ z+\frac{1}{2}L\sin \mathrm{\β}\cos \mathrm{\α}+\frac{1}{2}B\sin \mathrm{\α}\cos \mathrm{\β}\end{array}\right]---\left(8\right)$

式中，l，L，b，B如图2所示，Δz_n为磁力作用点在Z轴上相对于平衡位置的位移，Δz_n′为弹簧力作用点在Z轴上相对于平衡位置的位移。

2.设定物体的平衡位置

设定当物体处于平衡位置时，支撑梁与磁铁之间的磁间隙为z₀，且此时电磁铁的线圈电流为j＝cu₀，u₀为此时DSP的输出电压。

3.平衡位置附近的线性模型

基于上述运动模型和物体处于平衡位置时的***参数，可以推导出物体在平衡位置附近运动的线性模型。具体而言，

1)当输入电压信号满足u₁＝u₂＝-u₃＝-u₄时，输入输出之间的传递函数为

$G_1\left(s\right)=\frac{{\hat{z}}_1\left(s\right)}{u_1\left(s\right)}=\frac{l^{2}s}{(I_y{s}^2-l^2\frac{2j^{2}K}{z_0^3}+L^{2}k)\frac{2\mathrm{jK}}{z_0^2}c}---\left(9\right)$

此时，该模型的二阶共振频率点ω₁和物体绕Y轴的转动惯量I_y之间的关系是

$I_y=(L^{2}k-l^2\frac{2j^{2}K}{z_0^3})/{\mathrm{\ω}}_1^2---\left(10\right)$

2)当输入电压信号满足u₁＝-u₂＝-u₃＝u₄时，输入输出之间的传递函数为

$G_2\left(s\right)=\frac{{\hat{z}}_1\left(s\right)}{u_1\left(s\right)}=\frac{b^{2}s}{(I_x{s}^2-b^2\frac{2j^{2}K}{z_0^3}+B^{2}k)\frac{2\mathrm{jK}}{z_0^2}c}---\left(11\right)$

此时，该模型的二阶共振频率点ω₂和物体绕X轴的转动惯量I_x之间的关系是

$I_x=(B^{2}k-b^2\frac{2j^{2}K}{z_0^3})/{\mathrm{\ω}}_2^2---\left(12\right)$

4.估计物体的转动惯量

设计一个辨识激励信号U(如M序列)，使输入信号u₁＝u₂＝-u₃＝-u₄＝U，然后通过实验得到输出数据

根据数据u₁和

利用最小二乘法或其他***辨识方法得到输入输出之间的传递函数G₁(s)及其共振频率点。利用公式(10)即可计算出物体绕Y轴的转动惯量。

再使输入信号u₁＝-u₂＝-u₃＝u₄＝U，然后通过实验得到输出数据

根据数据u₁和

利用最小二乘法或其他***辨识方法得到输入输出之间的传递函数G₂(s)及其共振频率点。利用公式(12)即可计算出物体绕X轴的转动惯量。

5.计算被测物体的转动惯量

第4步得到的是被测物体和电磁铁的转动惯量之和。由于电磁铁的质量很容易测得，设每个电磁铁的质量为m，则可以得到被测物体绕X轴的转动惯量I_xx和绕Y轴的转动惯量I_yy分别为

I_xx＝I_x-mb²，I_yy＝I_y-ml²    (13)

需要指出的是，公式(9)、(11)给出的理论模型是连续时间模型。而利用DSP的输出数据和位移传感器的测量数据辨识得到的模型是离散时间模型，是理论模型的离散化模型。离散化的采样时间间隔取决于DSP的工作频率、A/D的转换速度和位移传感器的带宽。在应用本方法时，需要注意这两类模型的相互转化。

此外，公式(9)、(11)成立的条件是被测物体的几何中心和质心重合，也就是被测物体的质心应与图2中的0点重合。这一要求并不难满足，因为一般的运动***总是设计成是对称的。即使不是这样，也可以通过配重的方法满足要求，然后从测量结果中剔除配重物的转动惯量。

本发明的特征在于，它依次含有以下步骤：

(1)在靠近被测物体边缘处，用4根倔强系数k相同的弹簧把被测物支撑在刚性梁梁架上，支撑点要对被测物的几何中心对称，用标准重物对被测物体进行配重，使其质心与几何中心重合；

(2)在分别对应于上述4根弹簧的内侧处，在被测物的下方，连接并安装上4个电磁常数K相同的电磁铁，电磁铁的安装位置要对被测物的中心对称而且要低于上述刚性梁梁架，在被测物的上方相应于4个电磁铁纵向的位置上固定安装4个相同的位移传感器；

(3)分别测量各电磁铁间的距离L和B，测量各弹簧支撑点之间的距离l和b；

(4)依次电连接DSP、市售压控电流源和电磁铁，再把上述各参数k，K，L，B，l，b和电磁铁的质量m、压控电流源放大系数c存储到PC机中；

(5)设定包括电磁铁在内的物体的初始位置，记录此时电磁铁和刚性梁梁架间的间隙z₀并存储到PC机中；

(6)调节DSP的输出信号u₀，使物体处于步骤(5)设定的初始位置，并测量此时电磁铁的线圈电流j＝cu₀；

(7)把事先设计好的一个数据长度确定的辨识激励信号U输入DSP，利用和DSP配套的仿真器，用公知的方法对DSP编程使DSP的4个输出信号u₁，u₂，u₃，u₄满足u₁＝u₂＝-u₃＝-u₄＝U；设定输出频率和采样周期，记录这段时间内位移传感器的输出

并把它存入PC机；

(8)PC机根据输入的电压信号u₁和位移传感器的测量数据

用最小二乘法得到输入、输出之间的传递函数G₁(s)，s是Laplace算子；

$G_1\left(s\right)=\frac{{\hat{z}}_1\left(s\right)}{u_1\left(s\right)}=\frac{l^{2}s}{(I_y{s}^2-l^2\frac{2j^{2}K}{z_0^3}+L^{2}k)\frac{2\mathrm{jK}}{z_0^2}c},$

其中I_y为配重后的被测物和电磁铁共同绕Y轴的转动惯量，Y轴通过被测物中心并平行于相距B的两个支撑点的连线，X轴通过中心并平行于相距L的两个支撑点的连线，被测物所处坐标平面由X轴和Y轴共同决定，Z轴通过中心并垂直于此平面；

PC机通过公知的Matlab软件中的bode命令画出的Bode图使可找到二阶共振频率ω₁所对应的极点，再通过离散-连续时间模型的转化得到ω₁；

PC机再通过下式计算得到I_y：

$I_y=(L^{2}k-l^2\frac{2j^{2}K}{z_0^3})/{\mathrm{\ω}}_1^2;$

(9)再利用和DSP配套的仿真器对DSP编程，使DSP的4个输出u₁，u₂，u₃，u₄满足u₁＝-u₂＝-u₃＝u₄＝U，记录此时位移传感器的输出存入PC机中；

(10)PC机根据输入的电压信号u₁和位移传感器的测量数据

用最小二乘法得到输入、输出之间的传递函数G₂(s)：

$G_2\left(s\right)=\frac{{\hat{z}}_1\left(s\right)}{u_1\left(s\right)}=\frac{b^{2}s}{(I_x{s}^2-b^2\frac{2j^{2}K}{z_0^3}+B^{2}k)\frac{2\mathrm{jK}}{z_0^2}c},$

其中I_x为配重后的被测物和电磁铁共同绕X轴的转动惯量；

PC机用步骤(8)所述的方法得到二阶共振频率ω₂；PC机再通过下式计算得到I_x：

$I_x=(B^{2}k-b^2\frac{2j^{2}K}{z_0^3})/{\mathrm{\ω}}_2^2;$

(11)PC机再根据下式计算得到配重后的被测物绕X轴的转动惯量I_xx以及绕Y轴的转动惯量I_yy：

I_xx＝I_x-mb²，I_yy＝I_y-ml²，

再从I_xx和I_yy中剔除配重物的转动惯量，得到被测物体绕X轴的转动惯量以及绕Y轴的转动惯量。

从实验数据可以看出，用本发明所提供的方法得到的转动惯量与设计值相差很小，相对误差在5％以内。相比之下，本方法的适应性要广泛得多。对于不是用Ansys软件设计结构的物体，就很难用该软件进行计算，而本方法则可以没有任何困难的应用于一般情况。

本发明所提供的复杂不规则物体转动惯量辨识方法实现简单，辨识参数精度高，对被测物体的形状、大小、质量均没有任何要求，适用于测量任何复杂不规则物体的转动惯量，尤其是大型结构的物体。

附图说明

图1是实现本辨识方法的硬件框图。

图2是被测物体的运动模型示意图。

图3是被测物体的对角线方向的一个角的剖面图。

图4是本发明提出的不规则结构物体转动惯量辨识方法的实施例流程图。

具体实施方式

本发明提出的一种基于***辨识技术的不规则结构物体转动惯量的估计方法实施例流程图如图4所示，其具体包括以下步骤：

1.用4根相同的弹簧(倔强系数k＝1.109×10⁴N/m²)将被测物支撑在刚性梁上，支撑点要求关于物体中心对称，具***置不限，但以靠近被测物边缘为好，本例中如图2中A₁、A₂、A₃、A₄所示；

2.在被测物体上安装4个电磁铁(电磁常数K＝1.660×10^-4Nm²/A²，质量m＝1.320kg)和4个位移传感器(北京昆仑海岸传感技术中心ST-1型电涡流传感器)，安装位置也需满足对称性，具***置不限，但应处于弹簧内侧，本例中如图2中B₁、B₂、B₃、B₄所示，剖面图如图3所示；

3.测量电磁铁之间的距离——L和B，其中L＝0.595m，B＝0.490m；测量弹簧支撑点之间的距离——l和b，其中l＝0.397m，b＝0.327m；

4.连接DSP(浮点型DSPTMS320C32的C32SS板)、压控电流源(市售)和电磁铁；

5.设定物体的平衡位置，记录此时电磁铁和刚性梁梁架的间隙z₀＝0.005m；

6.调节DSP的输出信号u₀，使物体处于指定的平衡位置，并测量此时电磁铁的线圈电流j＝cu₀＝1.717A；

7.利用Matlab软件的idinput函数设计一个长度为20000的辨识激励信号U；

8.用DSP配套的TMS320仿真器，用公知方法对其编程，使其输出满足u₁＝u₂＝-u₃＝-u₄＝U，输出频率设定为100Hz，即实验时间为200秒，记录这段时间内位移传感器的输出

(采样频率也设为100Hz)；

9.根据数据U和

利用Matlab的最小二乘辨识函数arx得到一个6阶传递函数模型，再用bode命令画出其Bode图，找到其共振频率点所对应的极点为0.958±j0.246，再由离散-连续时间模型相互转化的知识可以得到ω₁＝25.09rad/s；

10.根据前一步得到的结果以及和已知数据，由公式(10)计算出物体绕Y轴的转动惯量I_y＝4.271kg·m²；

11.再对DSP编程，使DSP的输出满足u₁＝-u₂＝-u₃＝u₄＝U，记录此时位移传感器的输出

12.用同样的方法得到传递函数模型，找到其共振频率点所对应的极点为0.950±j0.277，于是ω₂＝28.38rad/s；

13.根据前一步得到的结果以及和已知数据，由公式(12)计算出物体绕X轴的转动惯量I_x＝2.265kg·m²；

14.利用公式(13)计算被测物体的转动惯量I_xx＝2.124kg·m²和I_yy＝4.063kg·m²。

在本实施例中，被测物作为一个形状和结构都很规则的实验平台，是用美国Ansys公司开发的Ansys有限元分析软件设计并定做的，其转动惯量在设计之初就已经被确定。其设计值和用本方法得到的估计值的对比如表1所示。

表1

	估计值	设计值	相对误差
				被测物体绕Y轴的转动惯量I<sub>yy</sub>(kg·m<sup>2</sup>)	4.063	4.203	3.33％
被测物体绕X轴的转动惯量I<sub>xx</sub>(kg·m<sup>2</sup>)	2.124	2.194	3.19％

Claims (1)

1、不规则结构物体转动惯量的辨识方法，其特征在于，它依次含有以下步骤：

(1)在靠近被测物体边缘处，用4根倔强系数k相同的弹簧把被测物支撑在刚性梁梁架上，支撑点要对被测物的几何中心对称，用标准重物对被测物体进行配重，使其质心与几何中心重合；

(2)在分别对应于上述4根弹簧的内侧处，在被测物的下方，连接并安装上4个电磁常数K相同的电磁铁，电磁铁的安装位置要对被测物的中心对称而且要低于上述刚性梁梁架，在被测物的上方相应于4个电磁铁纵向的位置上固定安装4个相同的位移传感器；

(3)分别测量各电磁铁间的距离L和B，测量各弹簧支撑点之间的距离l和b；

(4)依次电连接DSP、市售压控电流源和电磁铁，再把上述各参数k，K，L，B，l，b和电磁铁的质量m、压控电流源放大系数c存储到PC机中；

(5)设定包括电磁铁在内的物体的初始位置，记录此时电磁铁和刚性梁梁架间的间隙z₀并存储到PC机中；

(6)调节DSP的输出信号u₀，使物体处于步骤(5)设定的初始位置，并测量此时电磁铁的线圈电流j＝cu₀；

(7)把事先设计好的一个数据长度确定的辨识激励信号U输入DSP，利用和DSP配套的仿真器，用公知的方法对DSP编程使DSP的4个输出信号u₁，u₂，u₃，u₄满足u₁＝u₂＝-u₃＝-u₄＝U；设定输出频率和采样周期，记录这段时间内位移传感器的输出并把它存入PC机；

(8)PC机根据输入的电压信号u₁和位移传感器的测量数据

用最小二乘法得到输入、输出之间的传递函数G₁(s)，s是Laplace算子；

$G_1\left(s\right)=\frac{{\hat{z}}_1\left(s\right)}{u_1\left(s\right)}=\frac{l^{2}s}{(I_y{s}^2-l^2\frac{2j^{2}K}{z_0^3}+L^{2}k)\frac{2\mathrm{jK}}{z_0^2}c},$

其中I_y为配重后的被测物和电磁铁共同绕Y轴的转动惯量，Y轴通过被测物中心并平行于相距B的两个支撑点的连线，X轴通过中心并平行于相距L的两个支撑点的连线，被测物所处坐标平面由X轴和Y轴共同决定，Z轴通过中心并垂直于此平面；

PC机通过公知的Matlab软件中的bode命令画出的Bode图使可找到二阶共振频率ω₁所对应的极点，再通过离散-连续时间模型的转化得到ω₁；

PC机再通过下式计算得到I_y：

$I_y=(L^{2}k-l^2\frac{2j^{2}K}{z_0^3})/{\mathrm{\ω}}_1^2;$

(9)再利用和DSP配套的仿真器对DSP编程，使DSP的4个输出u₁，u₂，u₃，u₄满足u₁＝-u₂＝-u₃＝u₄＝U，记录此时位移传感器的输出

存入PC机中；

(10)PC机根据输入的电压信号u₁和位移传感器的测量数据

用最小二乘法得到输入、输出之间的传递函数G₂(s)：

$G_2\left(s\right)=\frac{{\hat{z}}_1\left(s\right)}{u_1\left(s\right)}=\frac{b^{2}s}{(I_x{s}^2-b^2\frac{2j^{2}K}{z_0^3}+B^{2}k)\frac{2\mathrm{jK}}{z_0^2}c},$

其中I_x为配重后的被测物和电磁铁共同绕X轴的转动惯量；

PC机用步骤(8)所述的方法得到二阶共振频率ω₂；PC机再通过下式计算得到I_x：

$I_x=(B^{2}k-b^2\frac{2j^{2}K}{z_0^3})/{\mathrm{\ω}}_2^2;$

(11)PC机再根据下式计算得到配重后的被测物绕X轴的转动惯量I_xx以及绕Y轴的转动惯量I_yy：

I_xx＝I_x-mb²，I_yy＝I_y-ml²，

再从I_xx和I_yy中剔除配重物的转动惯量，得到被测物体绕X轴的转动惯量以及绕Y轴的转动惯量。

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