JPH02230479A - サンプル３次元物体の例えばｘ線による錐形射影での画像の計算及び処理方法と、該計算方法を利用した検査物体の３次元再構成方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 産業上の利用分野 本発明は、体積要素でサンプルされた３次元（３Ｄ）物
体の例えばＸ線による椎体射影での画像の計算および処
理方法、ならびにこの計算方法を利用した検査物体の３
次元再構成方法に関する。

本発明は、特に、検査すべき物体が、放射線検査を受け
る患者の身体である医療分野に応用される。

このため、本発明は主に３次元再構成法に関する。

しかし、本発明はまた２次元再構成法にも応用可能であ
る。同様に、本発明はサンプルされた物体の視覚表示に
使用することができる。本発明の目的は、検査中の３Ｄ
物体を表すより鮮明な画像の迅速な生成に寄与すること
である。

従来の技術 撮像すべき断面で実施された放射線断層密度計測で（Ｉ
Ｄ）獲得後、物体の断面の画像の２次元（２Ｄ）再構成
を実現することはすでに公知である。断層密度計の異な
る世代により、第３世代において扇形ビーム断層密度計
を使用するに到った。

この扇形ビーム断層密度計では、Ｘ線点源が、扇形ビー
ムの平面中に並べられた複数のセルを備えたいわゆるマ
ルチディテクタにＸ線照射する。検査ずべき物体は、Ｘ
線源とマルチディテクタの間に配置される。獲得には一
続きの照射が行われる。

１つの照射から次の照射へと、Ｘ線源とマルチディテク
クから構成される集合体が検査すべき身体の周りを回転
する。Ｓが上記マルチディテクタ上の１セルの縦座標を
示し、θが照射時点におけるＸ線源−マルチディテクタ
集合体の位置の角度を示すとすると、Ｐ（θ，ｓ）で表
される一連の放射線吸収測定値が得られる。該当する断
面において、検査すべき物体の体積要素の座標をｘ，ｙ
として示し、物体を通過するＸ線の線形減衰関数にｆ　
　（ｘｊ　　ｙ）を表すとすると、Ｐ（θ，ｓ）−１ｏ
ｅｘｐ　−ｆ　ｆ（ｘｊｙ）ｄｔ　・１１）と表すこと
ができる。この式では、Ｘは、Ｘ線管マルチディテクク
集合体が、方向θにあるときセルＳに到達するＸ線を示
す。１ｏは入射密度である。この式は、線源が単一エネ
ルギー的である、すなわちｔがＸ線に沿った一方向の曲
線横座標である場合にだけ有効である。

ラドン理論の適用には、ｎ　（　ｕ　）で表されるＰ（
θの１次元フーリエ変換を見け出す必要があった。

．Ｆ　（　ｖ　，　ｗ）で表されるｆ　（ｘｊ　ｙ）の
２次元フーリエ変換を見出すことにより、角度θの直線
上で求められる８（ｕ）とＦ　（　ｖ　，　ｗ）を特定
することができる。このことから、Ｆ（ｖ，ｗ）　　に
対する、全て変換　３（ｕ）　（変数と内挿を変えた後
）から得られた２次元フーリエ逆変換により、測定値Ｐ
（θ，ｓ）から検査中の断面におけるｆ　（ｘｊ　ｙ）
の分布を計算することが可能であることが導き出された
。

実際には、過度に長い計算を必要とするフーリ工変換を
避け、後方射影が後に続くいわゆるフィルタリング技術
が利用されている。フィルタリングは、フィルタ関数ｑ
　（ｓ）を用いて、測定値を表す関数Ｐ（θ，ｓ）のた
たみこみ積分を計算するものである。この積分は次の通
りである。

Ｐ（θ，　Ｓ）”Ｑ（Ｓ） Ｓ） この式では、ｔは積分の見掛け変数である。フィルタの
選択（実質的には、すでに述べた変数および内挿の変更
時に生じるのと同じ問題を解決することである）は、得
られた画像の品質を支配する。後方射影操作において、
たたみこみ値は該当するＸ線の通路（θ，ｓ）上に位置
する検査中の物体の断面の体積要素〔ボクセル（ｖｏｘ
ｅｌ）　〕の全てに割り当てられる。そこから画像を導
き出すために、割り当てられた様々なたたみこみ値が各
ボクセルについて累加される。

現在まで、データの獲得および検査された構造の３Ｄ再
構成は、検査される身体に沿って、Ｘ線源−マルチディ
テクタ集合体を並進運動で移動させ、この身体中の多数
の隣接した２Ｄ断面画像を獲得することにより実施され
てきた。しかし、この方法は、影を得るために血管中に
造影剤を注入する血管造影法には全く勧められない。こ
のような造影剤の注入は、特に何度も繰り返すと患者に
外傷を負わせる危険性がある。例えば、身体中で２５６
個の隣接した断面の画像を獲得したいとき、造影剤の注
入を２５６回行うことは禁止されている。

血管造影法におけるこのような禁止の他にも、２Ｄ獲得
および対応する２Ｄ再構成の技術は、３Ｄ物体を再構成
するために使用するにはあまりにも時間がかかることは
認識すべきである。実際には、断面画像中で２５６点当
たり２５６点の平均解像度では、現在の断層密度計によ
る獲得時間は約４秒である。そこで、２５６個の断面に
必要な獲得は、約３０分の検査時間となる。この時間の
長さは、患者が耐えるのにはあまりに長すぎ、全体とし
て公衆保健機関（全体コスト）にとっても長すぎる。

理論では、３Ｄ獲得を実施し、検査すべき物体の３Ｄ再
構成を直接行うことによりラドン法を一般化することが
可能である。３Ｄ再構成とは、検査中の体積体のボクセ
ルを表すアドレスに位置したメモリセルが、物体中で調
べられている（放射線学的）現象の分布に対応する情報
の項目を含む数値体積の計算を意味する。しかし、ラド
ン理論では、再構成すべき検査中の空間の次元より１次
元小さい次元を有ずる二次空間アセンブリ、すなわぢい
わゆる超平面（ハイパープレーン）中で擾像ずべき物理
的特性の積分に対応ずる測定値を獲得しなげればならな
い。言い換えれば、３Ｄ空間の場合には、２Ｄ超平面に
ついて積分された測定結果を得る必要がある。実際には
、点ディテククを用いた放射線獲得は、（ＩＤ）直線：
Ｘ線に関する特性の積分でしかないのである。実際に線
源の軌跡が理論により定められた条件を満たさない事象
においては、獲得に役立った全ての直線（Ｘ線）に沿っ
た射影の認識に単純に基づいても、再構成に必要な全て
の超平面に沿った射影を計算することはできなくなる。

言い換えれば、測定値のラドン空間では点が見失われる
。ラドン空間は、均一には埋められない。その結果、得
られた３Ｄ再構成にはアーティファクトが現れることに
なる。

２次元マルチディテクタが（多数のシリコンフォトディ
テククを配置し、放射線画像増強スクＩＪ一ンを使用）
が現在考えられている、この方法による３Ｄ再構成は、
血管に応用する場合のように、多数のデータを供給でき
ないときこの方法が導く結果の不完全を考慮して、まだ
望ましい目標として留めておくべきである。

次のような原理に基づいた根本的に異なる代数的な再構
成が検討されてきた。平面もしくは凹面の２次元マルチ
ディテクタにより獲得された１組の測定値Ｐ（θ，τ，
ｓ）はすでに公知である。また、表現しようとずる放射
線吸収現象を表す連続関数ｆ　（ｘｊ　ｙ，　Ｚ）が存
在することも知られている。再構成によりｆを決定する
必要がある。実際には、全ての計算がデータ処理形式の
処理により行われることを考慮に入れて、出力における
ｆの認識はサンプル化された認識である。新しい方法は
、↑で示され、先験的に設定された離散関数を用いてｆ
を求めるものである。例えば、↑は、最初全ボクセルが
１　（またはゼロ）に設定された数値体積から成る。次
に、この離散関数は、検査中の休債がこの離散関数に厳
密に対応ずるかのように、マルチディテクタ」二で射影
される。このようにして、Ｐ＋（ｆ）　　として表され
る推定が得られる。これは、’Ｐｔ（ｆ）＝｝Ｌ↑　・
・・（３） ？も表すことができる。

これらの式で、１はマルチディテクタのセル番号１てあ
り、Ｈ１　は、セル１に対応する射影マトリクスＨの行
１を表ず。射影マトリクスＨは、検査中の身体から独立
している。このマトリクスは、射影幾何学にのみ依存し
ており、射影幾何学のモデル化を構成する。次に、″Ｐ
＋（ｆ）（推定値）とＰ＋（ｒ）（測定値）を比較する
。同一性がなく、最初から同一性がないことが明らかな
場合には、↑が訂正される。訂正するためには、再構成
すべき物体」一に測定射影と計算射影の間の差の値によ
り後方射影を行う。これは、 ↑■一↑ｋ−１＋れ（　Ｈ　ｉ　”ε，″）／　ｌ　Ｈ
．　ｌ　　・・（４）（但し、Ｈ１はＨどの随伴演算子
であり、ε１″は、反復ｋ−１での測定射影と計算射影
の差である）で表される。

このような射影の組は、Ｐ＋（ｆ）とＰ，（ｆ）の同一
性が充分になるまで繰り返される。この方法は、アカデ
ミックプレス（Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｒｅｓｓ）１９８
０年刊行ハーマン（ＧＴ，　Ｈｅｒｍａｎ）著「射影か
らの画像再構成（Ｉｍａｇｅｓ　ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃ
ｔｉｏｎ　ｆｒｏｍ　ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ）　Ｊに説
明されている。

さらに、射影マトリクスＨが、１右よび０を持つ２進マ
トリクスである場合には、結果は不十分なものである。

このように、第１の解決法は、線源Ｓとマルチディテク
タ上の各セルの中心とを結ぶ直線Ｄに沿って取られたｆ
の線積分によりｐを得るというものであった。つまり、
このようにセルの実表面も、該セル上の射影の円錐特性
も考慮にいれられていないので、各セルは無限に寸法が
小さくなると考えられる。この線積分の計算はいくつか
の方法で実施することができる。最も単純な方法は、χ
線が横断したボクセルの値の加重和により線積分を達成
することである。これは、′Ｐ１（ｆ）一Σｈ　ｉｊ・
ｆ，　　・・（５）のように表すことができる。

この式で、ｆＪは、（Ｘ線が）透過したボクセル（サン
プルとなった体積要素）の各々における吸収関数を表し
、ｈ　ｉｊは、このボクセルがセル１に到達するＸ線に
より横断された場合に値ｆ，ｆ　（Ｘ．＋，　ｙ．：，
２ｉ）に割り当てられる加重を表している。この加重は
、Ｘ線とＸ線が透過したボクセルとの間の交差の長さか
ら導くことができる。この近似法、すなわち引用した最
初の文献に記載されいるようないわゆる正方形画素法で
得られた結果は、残念なことに意図していた応用には不
十分な品質のものであった。

アイイーイーイ一一エムアイ（ＩＥＥＥ−ＭＩ）、第１
巻、第３号の１９２〜１９Ｇ頁にあるジョセフ（ＰＭ．
Ｊｏｓｅｐｈ）による論文［画素画像を通したＸ線再射
影のための改善されたアルゴリズム（Ａｎ　ｉｍｐｒｏ
〜ｒｅｄａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｆｏｒ　ｒｅｐｒｏｊｅ
ｃｔｉｎｇ　ｒａｙｓ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ｐｉｘｅｌｉ
ｍａｇｅｓ）　Ｊには、別の加重計算が考えられ、説明
されている。この計算法の基本的な考えは、Ｘ線が続く
直線と、マルチディテククセルの中心に到達するＸ線が
通ったあるいはこのＸ線が触れたボクセルの中心を通過
する水平（または鉛直）直線との交差点で得られるｆの
内挿値に関する和によりｆの線積分を達成するというも
のである。これら交差点におけるｆの値は、Ｘ線の直線
の勾配に沿った水平方向（もしくは鉛直方向）の最も接
近して位置している２つのザンプルの間の線形内挿によ
り求められる。

正方形画素法の一般化が、応用光学（ＡｐｐＩｉｅｄＯ
ｐｔｉｃｓ）第２４巻第２３号（１９８５）　４０２８
〜４０３９頁の［計算断層撮影のための局所基本一関数
（Ｌｏｃａｌ　ｂａｓｉｓｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｐｐ
ｒｏａｃｈ　ｔｏ　ｃｏｍｐｕｔｅｄ　ｔｏｍｏｇｒａ
ｐｈｙ）　Ｊにおいて、ハンソン（ｔｌ，　Ｍ，　Ｈａ
ｎｓｏｎ）およびウェクザング（Ｇ，饗　ｌｌｌｅｃｋ
ｓｕｎｇ＞により提案されている。

この一般化では、連続関数ｆ　（ｘｊ　ｙ，　ｚ＞がザ
ンプルｆ　（Ｘｊ，　ｙｔ，Ｚ．＋）から構成され、こ
のマルチディテクタのセル１上の連続関数の射影が計算
される。この一般化において、関数ｆは、一組の基本関
数ｂ．：（Ｘ，ｙ，　ｚ）の線形組合わせとして定穣さ
れ、ｆ’−ｒｆ−Σａ，・ｂ，（ｘｊｙ，ｚ）　　　”
（６）で表すことができる。

この式では、ａｊ　は、最終的な分析で求められる関数
ｆの記述を表しており、関数ｂ；（Ｘ，ｙ，ｚ）は公知
である。局所的で、反復的かつ可分の基本関数が通常利
用される。「局所的である」とは、各関数ｂ，の支持線
が、ｆの支持線と比較して小さいことを意味する。「反
復的である」とは、各関数ｂ，が単一関数ｂ（ｘｊ　ｙ
，　ｚ）からの変換により演締されることを意味する。

この演縄法は、Ｊ（Ｘ＋　ｙ＋　ｚ） ｂ（ｘ−ＸＪ．　ｙ−ｙｊ，　Ｚ−ＺＪ）　　’　−（
”ｔ）で表される。「可分てある」とは、 ｂ（ｘｊ　ｙ，　ｚ） ｂ．（ｘ）　Ｈ　ｂｙ（ｙ）　・ｂ−（ｚ＞　　・・（
８）となるような３つの関数ｂ，，（ｘ）、ｂｙ（ｙ）
、ｂ．（ｚ）が存在することを意味する。

ｂＸが、ｂｙおよびｂ２に等しく、これら関数が、方形
波関数に等しい事象においては、いわゆる正方形画素方
法が再び出現することに留意されたい。基本関数の方法
により得られる一般化は、すでに述べた他の方法への復
帰を可能にするが、これらの方法にさらに明瞭な数学的
基礎を与えると、実施された操作はさらに容易に理解さ
れると言うことができろ。実際には、最良の結果は、Ｂ
スプライン、主要正弦、ハミング関数、あるいは望まし
くはガウス関数のような基本関数を用いで得られる。こ
のような基本関数により得られた結果は、勿論計算時間
は長いが、ジョセフ方法により得られる結果より品質が
優れている。

ｆの推定値Ｔを射影する操作は、実際には、Ｐｉ（ｆ） Σａ＝ｆ’Ｊ　ｇ＋（ｘｊｙ，ｚ）　Ｈ　Ｊ（ｘｊｙ，
ｚ）　ｄｘｄｙ　ｄｚ　−　・（９）ｊ を計算することである。

この式では、ｇ１は線＃ＳとセルＩにより形成される扇
形の外側でゼロ値（または非常に小さい値）を有する加
重関数を示す。関数ｇ１　は、セル１の照射用の錐形支
持線を表す。これは、ｈｌｊ＝ｆｆｌｇ　＋（ｘｊｙ，
ｚ）　Ｈ　Ｊ（ｘｊｙ，ｚ）　ｄｘ　ｄｙ　ｄｚ　・・
Ｑ■と表ずことができるので、Ｐの計算は全重みｈＩｊ
の計算となる。各重みｈＩＪはセルｊ上の物体の射影へ
の基本関数ｂ，の寄与を表す。

発明が解決しようとする課題 ３つの変数の関数ｆのザンプルｆ，の認識から出発して
、本発明の目的は、検出セル白ご関するｆの射影の数値
計算を可能にすると共に、得られた結果の優れた品質き
、非常に短時間の計算の両方を確実にすることである。

これら２つの基準（品質と速度）は、代数的再構成法に
よる一組の２Ｄ錐形射影からの関数ｆ　（ｘｊ　ｙ，　
ｚ）の再構成に必須である。従来技術の射影方法では、
望ましい品質と速度を確実にすることができなかったが
、本発明はこれを可能にする。

課題を解決するだめの手段 そこで、本発明は、体積要素でサンプルされた３次元物
体の画像の計算および処理方法であって、この画像はＸ
線による錐形射影で例えば照射され、ガウス基本関数（
ｂｊ）の空間についてザンプルとなった３次元物体を分
解し、 各射影画像要素ごとに、該当ずる画像要素に射影される
体積要素に対応する基本関数の寄与（ａｊ）を計算し、
各寄与が、体積要素に関する基本関数と、該当する画像
要素の照射用の支持線を表す関数（　ｇ　，ｉ　）きの
積の積分に等しく、射影された画像が処理される方法に
おいて、支持線を表す関数の代わりにガウス加重関数を
用いることを特徴とする方法に関する。

本発明はまた、検査中の物体の３次元再構成方法であっ
て、再構成すべき関数ｆを反復的に見出すために、再構
成すべき物体を先験的に表すサンプル化離散関数から出
発して、反復的に上記計算方法を使用する方法に関する
。この場合、画像要素は２Ｄマルチディテククの１セル
で識別される。

実施例 第１図は、マルチディテクタＤの検出セル１が、身体Ｃ
を通過後の放射線の減衰を確実に測定できるするような
方法で身体Ｃを照射するχ線源Ｓを示す。以下に行う説
明では、使用されるマルチディテクタは平面（放射線輝
度増強スクリーンの外表面が平面とみなして）であると
仮定する。しかし、本発明は、光検出セルを備えたシリ
コンマルチディテクタと同様に凹状のマルチディテクク
の使用に容易に適用することができる。このタイプの凹
状マルチディテクタは、照射する錐形Ｘ線に対してあら
ゆる点において表面が垂直である。

第２図は、３つの直接正規直交基準フレームを示す。第
１正規直交フレームＸ，Ｌ　　Ｚは、身体Ｃと一体であ
る。線源ＳとマルチディテクタＤから構成される集合体
の１つの位置について、これは線源Ｓと一体であるとみ
なすこともできる。平面と仮定されるディテクタＤは、
上記マルチディテクタの平面上の線源Ｓの正規直交射影
であるＰとして示される中心点により特徴付けられる。

それに応じて、ディテククＤに属する基準フレームＸ’
，　ｙ’，　Ｚ’は、２゛がＳＰと同一線上で、かつ同
方向にあり、Ｘ゜　及びｙ’（単純化のため、ディテク
タＤの直交する縁に沿って方向付けされている）は２゛
　と共に直接正規直交基準フレームを形成している。セ
ル１は、ディテククＤの平面上の正方形と仮定され、２
、がＳＰｉ（Ｐｉはセルｌの中心である）と同一線上に
あるような直接正規直交基準フレームＸｉ＋　ｙ，，　
Ｚｉ　に属する。正規直交ベクトルＸ，とｙ，はＺ，と
直交し、ベクトルＸ１はディテククＤの平面に含まれて
いる。Ｘ線ＳＰｉ　は、ベクトルＸ１　を含む平面π，
に垂直である。

上述した説明に従って、本発明は、基本関数へのｆの分
解の一般原理を利用している。選択された基本関数は局
所的、可分、反復的で、ガウス基本関数である。その結
果、 ｂ．＋（ｘｊｙ，ｚ）一ｂバＸ−Ｘ，ｌ）・ｂ　ｙ　（
ｙ−ｙｊ）・ｂｚ（ｚ−ｚＪ）のとき、 ｆ　（Ｘ，　ｙ，　ｚ）　＝　’ｆ’　（Ｘ，　ｙ，　
ｚ）一Σａ．＋ｔ）＋（Ｘ，ＬＺ）　　−　−Ｑｌ）ｊ と表すことができる。

ここで、空間の３つの方向において解像度が同じである
格子上にサンプルボクセルが分布されていると仮定する
。δｘ１　δｙおよひδ２が、３つの軸ｘ１ｙおよび２
に沿ったサンプリングピッチを示すとすれば、 δ×一δｙ一δＺ　・・　（１２ａ） と表すことができる。

このとき、一般式： ｂ．（ｕ）一δイ・Ｇσ５（ｕ）・・（１２ｂ）を有す
るガウス関数が選択される。

この式では、Ｇσｂ（１」）は、 Ｕ　≦Ｒｂのとき、 ａ　ｅｂ（　ｕ．　） （１／７２πσｂ）［！Ｘｆｌ（　一ｕ２／　２　σ．
，’）また、　ｕ　　＞Ｒｈのとき、 Ｇ，ｂ（ｕ）　一〇　　−　・Ｃｌ３）のような標準偏
差σ，を有する切頭ガウス関数を示す。

上記式で、切頭ガウス関数の切断の半径の値Ｒ５ならび
に標準偏差σ５は、ユーザが選択することができる。ガ
ウス関数は、計算がデジタルコンピュータ中で必然的に
制限されるので、切断される。

しかし、この切断は、計算の妥当性にδ忍め得るほどの
影響を及ぼさない。実用的に優れた結果は、中央高さで
の幅がσ８に等しいガウス関数、すなわち、標準偏差が
、 σ５　−　δ．／２ｊｌ’ｎ　　（２Ｊ　２）　　　　
　・　・　Ｑイ）により与えられるガウス関数を採用す
ることにより得られた。これは、中央高さでの幅とガウ
ス関数の標＄偏差の間に比２βｎ（２ｒ２）が存在する
ためである。上記式において、ｆｌｎは自然対数を表す
。

同様に、半径Ｒｂについて満足のゆく実験値はＲ．，−
３δ８／２であった。採用した項δ８、δ７、δ７は、
ｆが一定関数〔すなわぢ、ｆ　（ｘｊ　ｙ，　ｚ）ａ〕
である場合に、係数ａｊが一定で、ａとほとんど同じで
あることを確実にする標準化記号である。この標準化に
より、必要であれば、サンプルｆ．とガウス関数の係数
ａＪＯ間の移行を単純化することが可能になる（近似的
にａ，，一ｆ，を選択することにより）。しかし、この
標準化は本発明において必須ではない。

公知のように、加重関数ｇ＋　は、頂点Ｓと、底面とし
てのセル１を有する多面体内では負ではなく、この多面
体の外側ではほぼゼロでなければならない。さらに、こ
の多面体内では、平面ｚｔ（軸ＦＰ，に対して直角にあ
る平面）の各々に割り当てられた重みは、これらの面の
各々が、線源から発する同数のＸ線と交差するので、同
じでなければならない。この制約の結果、セル１に属す
る基準フレームＸｉ，ｙ＋，Ｚｔ　中で求められる積分
ｆｆ　ｇ＋（ｘｋ，　ｙｈ．　ｚ＋、）　ｄ　Ｘ＋＋　
ｄｙｋ　・・Ｑ５）は、ｚｋから独立していなければな
らない。

これら２つの条件を満たすために、本発明では特殊な加
重関数ｊ，を採用した。これら関数はガウス関数である
。これらは切頭ガウス関数であることが望ましい。実際
には、各平面Ｚｉ　一一定において、これら関数は２Ｄ
ガウス関数である。しかし、３Ｄ空間では、これら関数
はガウス関数ではない。それでもその数学的公式化には
ガウス関数の使用が必要である。

第３図は、ディテクタＤの平面中での加重関数の１つの
限定を概略的に示したものである。極く僅かな近似値以
内で、この限定は切頭２Ｄガウス関数である。このガウ
ス関数の中心はＰ、であり、この標準偏差はσ，、その
切断半径はＲ，である。

標準偏差σ，と半径Ｒ，は、ユーザが選択することがで
きる。ディテクタの平面中の位置を採用する代わりに、
ｇ、の数学的表現を与えるためには、セル（Ｘ＋，３’
＋，Ｚ＋）の基準フレーム中の位置を採用する方が好ま
しいであろう。○が、中心Ｐ，、半径σ９を有するディ
テクタ平面中の円を示すとすると、セルｌに属し、すで
に定義された平面π１上の該円の方向ｚ１での射影は楕
円であると仮定することができる。この楕円はＸ．とｙ
１に沿った方向の軸を有する。ｘ１がディテクタＤの平
面および平面π，と共通であることを考慮に入れ、半径
ＳＰ１が角度τ（第２図）で半径ＳＰに対して傾斜して
いることを測定により確実にすることにより、 と表すことができる。

次に、ｇ１　に関して、次の形： ｇ＋（χｋ・’Ｊｈ・ｚｈ） Ｇｔｙｓ＋＋　（ｚｋｌ　（　Ｘ　ｋ）　・Ｇ６ｓｙ　
［ＺＫ］　（ｙ　ｋ）・・Ｑ″Ｏの可分式を選択するこ
とができる。

この式では、Ｇ，（ｕ）は、 ？，　≦Ｒ９■２１１１のとき、 Ｇ，ｇｙ（ｚ■（Ｘ■） （１／Ｘ２πσ９Ｋ．．。）ｅｘｐ（−ｘ　ｈ２／　２
σ　９Ｍ　［ｚｋｌ　）また、　Ｘ■　＞　Ｒ　９Ｍ　
＋ｚｋｌのとき、Ｇσ９ｙ（ｚｋｌ　（Ｘｋ）　＝　Ｏ
　　　　　　　　　争　−０８）となるような切頭ＩＤ
ガウス関数である。

Ｇｔｙｓア，■，も同様に定義する。これらの式で、Ｒ
ｇｏは、軸Ｘ１上の切断の半径である（同様に、Ｒ，ｙ
は軸ｙ，上の切断の半径である）。実際は、ガウス関数
はｚｋ　によりパラメータ表示されている。というのは
、射影の錐形特性により、標準偏差が明らかに線源Ｓに
対して加重された基本関数の高さに依るものであるから
である。このため、標準偏差σ９，（Ｚｋ）およびσ９
ｙ（Ｚｋ）は、により定義される。

ＳＰ＋／ｚｋは、２，に平行な平面π１上の射影の拡大
比として示される。

Ｆ　ＭＡＧ（ｚｈ）　＝　Ｓ　Ｐ　ｔ／　Ｚｋ　　＋　
＋　＋　（２■と表すことができる。

同様に、切断半径をＦ　Ｍ　Ａ　Ｇの関数として、のよ
うに定義することができるであろう。

このように定義されたｇ、は次のような特性を持ってい
る。平面π１中のｇ１の限定は、定義により、ｘ１に沿
った標準偏差σ，８と、ｙ１に沿った標準偏差σ，ｙを
有する切頭２Ｄガウス関数である。

ｇ１の支持線は、頂点Ｓ、軸ＳＰ，、ならびに楕円形の
底面（平面π１中で）を有ずる錐形である。

ディテクク平面でのｇ１の限定は、標準偏差σ，（Ｘ”
またはｙ′に沿った）を有する切頭２Ｄガウス関数と同
じである。この限定の支持線は、中心Ｐ１と半径Ｒ，を
持った円とほとんど相違ない。

ｇ１の制限のための支持線は、線＃Ｓが実際には無限で
はないので、完全な円ではない。線源Ｓが無限で、平面
π１中での射影が実際に楕円形であれば、ディテクク平
面での射影は厳密に円となる。

射影が円錐状であるので、射影された円は若干変形して
いる。この結果生じたエラーは、二次的なものであり、
無視することができる。さらに、このように選択された
関数ｇ、は、必要条件を満たし、これによって、 ｆｆ　ｇ＋（ｘｋ，　ｙｂ＋　ｚＪ　ｄ　Ｘｈｄ　ｙｋ
・・（２２）が、Ｚｉから独立する。実際に、この二重
の積は、ｆｆ　Ｇ，ｓｘｔｚｈ＋　（ｘＪ　＋　Ｇａｓ
ｙｔｚ＋ｎ　（ｙ　ｋ）　ｄ　ｘｈｄ　ｙ＋ｔ＃　１・
・（２３） のように表すことができ、一定である。使用されたガウ
ス関数は純粋なガウス関数ではなく、切頭関数であるの
で、相等性は厳密ではない。最終的に、基本関数の場合
のように、実際には、ガウス関数の中央高さでの幅が、
ボクセルの幅（属する基準フレーム中の検出セルの位置
で）と等しいような加重関数の標準偏差が選択される。

同様に、この幅の３／２に等しい切断Ｒ，の半径が選択
される。その結果、射影Ｐ：（ｆ）の推定のために得ら
れた式は、次の通りである。

ｐ，（ｆ） δ８δ，δ２Σａ， ｆｆｌＧ６ｌ，（　ｘ　，，−ｘ　，）・Ｇ，ｂ（ｙ．
＋−ｙｂ）・Ｇ６ｂ（Ｚ，　Ｚｋ）・Ａ・ｄＸ＋，ｄｙ
ｋ　ｄｚ．，・　・　・（２４） ただし、 Ａ＝Ｇσ５＋＋ｆｚｋｌ（Ｘｋ）・Ｇ６ｇｙ．ｚＫ，＜
ｙｋ）前記の式で、変数ｚｋを排除できることは明らか
であろう。これは、近似を犠牲にしても可能である。前
述の応用において十分に確認されたように、検出セルの
サイドδ×′は、距離ＳＰまたはＳＰ１　と比較して非
常に小さいと仮定する。本発明が今使用されている条件
において、例えば、δ×′は０８ｍｍにほぼ等しく、Ｓ
Ｐは１２００ｍｍにほぼ等しい。この仮定に関して、ｇ
１の支持線に対応する円錐の頂点における角度αは非常
に小さい。上記の数値をあてはめると、α−０．０４゜
となる。

基本関数３Ｄｂ，を考慮すると、その支持線がｇ１の支
持円錐と空交差するか否かがわかる。この交差が空とな
る場合には、その射影’Ｐ＋（ｆ）への寄与はゼロであ
る。その反対の場合には、交差は、 のような２つの平行な半平面により結合される。

この式において、２｛は、基本関数ｂ，の中心が置かれ
る点Ｖ，の参照セル（ｘ　＋，ｙ　ｔ，Ｚ　＋）中のレ
ベルを示す。第４図は、点Ｖ，について限定される関数
ｂＪの定義の局所領域を示す。この領域は、半径Ｒｂに
よって限定される円である（Ｒ．は、ｂＪを定義するガ
ウス関数の切断半径である）。

第４図は、式１１により与えられる積分を示している。

局所基本関数を考慮に入れる限り、該当する検出セルの
加重関数の支持線の一部分との交差を求める。支持線の
この部分は通常楕円錐台であり、その最大の底面は、高
さＺｊ−Ｒ，，により設定され、またその最小の底面は
高さＺｊ−Ｒｂにより設定される。本発明において、一
方でαが非常に小さく、他方でＲ，ちまた小さい（「局
所」底面の仮定に基づく）ことを考慮に入れると、この
円錐台は、軸ＳＰｉを有する円筒要素により、ｇ１の近
傍に接近し得ることは明らかになった。言い換えれば、
２エが、間隔（　Ｚ　ｊ−＋　Ｚ　ｊ”）に属するとこ
ろでは、σ，，　（　Ｚ　ｋ）−σ，ｏ（２．４）故に
、σｇＭ（Ｚ＋＋）　＝　ａｑ／　Ｆ　ＭＡ　Ｃ（ｚ　
，１）また、σｑｙ　（　Ｚ　ｋ）−σｑｙ（Ｚｊ）故
に、σ，，（ｚ＋，）　＝　σ９ｃｏｓ（ｒ）／　ＦＭ
ＡＧ（ｚ，）・・・（２６） と表すことができる。

この式では、ｋは加重関数に属するのに対し、Ｊは基本
関数に属する。最後の式によってもたらされる利点は、
σ９ｙ（Ｚｋ）が、近似により、Ｚｊだけに依存するの
で、σ９Ｙ　（　Ｚ　ｋ）はＺｋから独立していること
である。このような条件下で、式２４の近似′Ｐ（「）
の計算は、単純化され、 ？＋（ｆ）一δイδ，δ２Σａ，，ｆｆＧｔｙｂ（Ｘｊ
Ｘｋ）ｊ Ｇ６ｂ（Ｖ．＋−ｙｂ）・Δ・ｄＸｋｄｙｋ　・・（２
７）になる。というのは、関数は可分てあるので、従っ
て積分は可分てあり、また、 ？なるからである。

Ｘｋの積分とｙｋの積分とを分離することにより、Ｐ＋
（ｒ）−δ９δアδ，，Σａ４ Ｊ　Ｇ，ｂ（Ｘａ　　ｘＪ　Ｈ　Ｇ，９＋＋＋ｚ＋＋＋
　（ＸＪ　ｄ　Ｘｂ　・ＪＧ，ｂ（ｙａ　　３’■）・
Ｇｅｓｙ　［ｚｋｌ　（ｙｈ）　ｄ　’Ｊよと表すこと
ができる。

実際には、所与の値１の場合には、この最後の式の２つ
の積分の各々を２つの有心ガウス関数のたたみこみとし
て解釈することができる。２つの有心ガウス関数のたた
みこみは、同じく有心であるガウス関数として公知であ
る。このガウス関数の分散は、初期ガウス関数の２つの
分散の和に等しい。これによって、計算後、非常に単純
な式二〇，ｂ（ｘｉ　　ｘｈ）　・Ｇ６ｇ＋＋ｔｚ＋ｇ
　（ｘｂｌｌ　ｄ　Ｘｈ−．（１／．ｒ２πσｏ）　ｅ
ｘｐ　（一ｘ　；　”／　２σ。′）および Ｇ，ｂ（ｙｔ　　ＶＪ・Ｇ，９ｙ　［ｚｋｌ　（　’ｌ
　ｈ）　ｄ　’Ｊ　ｙ”＝　（　１　／（　２πσｙ）
ｅｘｐ（−ｙ　ｉ’／　２σ，′）従って、Ｉ’ｉ（ｆ
）の場合には、 ｐｉ（ｆ）！−．δ８δ，δ２ΣａＪ　（１／２πσ８
σｙ）・ｅｘｐ（　−　ｘ　ｊ’／　２　σ，２）　・
ｅｘｐ（　−ｙ，’／　２　σｙ’）・　・（３０） が導かれる。

分敗σ８′およびσ，′の式は、次の通りである（分散
の和）。

しかし、用いた関数が切頭ガウス関数である限り、これ
らの関係が近似にすぎないことに留意しなければならな
い。最後の式は、一切の積分計算が取り除かれているの
で、かなり有利である。その結果、本発明においてこれ
まで証明してきた近似を用いて、非常に単純な計算によ
りサンプル化された関数の射影を計算することができよ
う。

これらの式では、σ，８およびσ，ｙは、ＦＭＡＧの関
数としてのそれらの値に置き換えることができる。最後
の式は、 ６，’−６．、’＋　ｔｙ，”／　ＦＭＡＧ（ｚ，＋）
２σ，′一σｂ２＋σ，”ｃｏｓ２（τ）／ＦＭＡＧ（
ｚＪ）２・　・　・　（３２） と表される。

式（３０）にある値ＸＪおよびｙ，は、各セル１につい
て、セル基準フレーム１に関するボクセルの座標である
。

射影アルゴリズムｆを単純化するためには、ディテクク
基準フレームに関する座標だけを使用すればさらに有利
である。このため、Ｘ１、ｙ１”および２，”により示
されるディテクク平面の第２直接正規直交基準フレーム
を挿入することができる。

この基準フレームの第１ベクトルは、セル基準フレーム
１の第１ベクトルと同じてある。これは、すでに述べた
ように、ベクトルｘ１　もまたディテクタ平面に属して
いるので、可能である。ベクトル２、は、ディテクタ平
面に属する基準フレームのベクトル２′　に平行である
。ベクトルｙｌ’は、直接基準フレームの第３ベクトル
として上記ベクトルＸ，およびｚ１＋　から導き出され
る。ベクトルｘ１およびＶｉ’　が、角度θ（第２図）
（ここてθはベクトルｙ′と軸ＰＰ，’　　間の角度）
を介した影に等しい。従って、 が導き出される。これは、 σ８・２−σＩ，′・ＦＭΔＧ　（ｚ　，）２＋　，７
，２ａｙ，”一σ＋，’　・Ｆ　ＭＡ　Ｇ（ｚ　，）２
／ｃｏｓ（ｒ）＋σｇ２を設定することにより、前記式
を変形する最終式：・　・　・（３４） を導くことができる。

指数関数の利点は、積分計算の代わりに、予め計算され
、図表作成が可能な関数を使用することである。これに
より、時間が節約される。

得られた結果は、射影↑の計算用に提案されるアルゴリ
ズムの全体的説明を行うことによりまとめることができ
る。ザンプルｆ，は、通常関数↑の各値ｊに使用可能で
ある。これらは、射影マト？面回転によりベクトルＸ′
およびｙ゛から導き出されることがわかる。しかし、実
際には、説明した射影アルゴリズム構造に関する理由か
ら、用いる角度は角度θではなく、近似値θ”である。

角度θ”は軸ｙ′と軸ＰＶ．・間の角度として定義され
る。ここで、Ｖｊ・はディテクク上のＶ，の射影である
。この点は、第２図ならびに第４図に示されている。■
，・の射影が、加重関数の局所特性により、Ｐ１　の近
傍に来るときだけＶ，・が考慮に入れられる限り、上記
近似は証明される。従って、この近似の結果、過度の再
構成エラーを伴うことなく、上記式においてθをθ′　
に置き換えることができる。

式３０にある値Ｘ，およびｙＪは、セル基準フレーム１
内では、基本関数ｂ，の中心Ｖ，の横座標および縦座標
である。座標Ｘ，およびｙＪをベクトルｐ，ｖ，・の平
面基準フレーム（ｘ＋，ｙｉ）　中の座標の関数として
表す。ｐ．ｖＪ・の座標は（ｘ’■，ｙ’．＋）として
示す。ベクトルＰ，Ｖ，・は、ディテクタの平面上で方
向ＳＰｉの座標（　ｘ　．＋，ｙ　．：）のベクトルの
射リクスを用いて射影され、射影Ｐ＋（ｆ）の推定が１
の各値について得られることになる。この推定値は実際
に測定された値と比較し、そこから差異（あるいは残り
）の後方射影によりｆの新しいサンプリング値を導き出
し、推定が次第に所望する関数に出来る限り近づくまで
、この計算全体を繰り返す。従って、このアルゴリズム
は次のような段階を含む。

サンプルの基数からガウス基本関数の基数へ移る。これ
は、ｆ，がわかっているとき、係数ａＪ全てを計算する
ことである。最初に、基本関数ｂ，が結合された支持線
を有していることを考慮に入れて、この操作を単純化す
ると共に、用いたガウス関数が、該方法の第１段階でａ
，。ζｆＪｏを選択することによりボクセルの寸法と同
じくらいの中央高さでの幅をもつことを指摘することが
できる。

この関係は近似的であるが、実用面では充分である。

全ての’Ｐ＋（ｆ）をゼロに初期化し、Ｊの各値につい
て、 ・ディテクク上の基本関数の中心ＶＪの射影である点Ｖ
′．のディテクク基檗フレーム内での座標を計算し、 ・そこからθ゛一角度（ｙ’，ＰＶ旨）を導き出し、・
高さＺＪ　に位置する」−記基本関数の場合に関数ＦＭ
ΔＧ（ｚ＋）を計算し、 ・ＳＰとＳＰ．間で形成される角度τを計算し、・σ８
”およびσ，″を計算し、 ・ディテクク上の基本関数ｂＪの支持線の射影に属する
ディテクク平面の画素（ｘ＋“，ｙｔ’）の各々の場合
に、 ・　，ｌおよびｙＪ“を計算し、 ・基本関数ｂｊの画素Ｘｉ’、ｙ１”への寄与であるｈ
ｌ１を計算し、 ・インクリメントν＋（ｒ）一’−ｐ　ｉ（ｒ）　＋　
ｈｔｉ　ｆｊを行う。

本発明によるアルゴリズムは、所望の関数ｆを再構成す
るためだけに使用する必要はないことが理解されるであ
ろう。適切にザンプル化された関数ｆがわかっていると
き、このアルゴルリズムにより、画定すべき主方向ＳＰ
での錐形射影における上記関数の画像を提供することが
可能となる。

従って、本発明の利点は、人為的構造なしに画像を提供
する点であり、この画像は従来の技術より速く得ること
ができる。

基本関数の高さの関数でもある標準偏差を有するガウス
加重関数（上に示した全ての単純化を伴う）を選択する
ことにより、通常照射の円錐性に自然に適合した加重が
実現される。このように、アーティファクトを減少し、
再構成を加速することができる。

本発明が、あらゆる種頌の画像もしくは計算された再構
成の処理に関することは明らかである。

このような処理操作には、特に再構成された構造あるい
は計算された画像の視覚表示が含まれる。

４．簡単な図面の説明 第１図は、Ｘ線照射源とマルチディテククの概略を示し
、 第２図は、検出セルの座標を表すために用いることがで
き、単純化された計算を可能にする異なる基準フレーム
を表示する幾何学的図面であり、第３図は、本発明に従
う加重関数（３次元）を概略的に示し（単純にするため
２次元とした）、第４図は、射影に関して、採用した単
純化された計算を証明する幾何学的特性を示す。

（主な参照符号） Ｓ・・・Ｘ線源、　　Ｃ・・・身体、 Ｄ・・・マルチディテクク、 １・・・検出セル 特許出願人　ジエネラル　エレクトリックセージェーエ
ール　エス　アー 代　理　人　　　弁理士　越場　隆

Claims (10)

【特許請求の範囲】
1. （１）体積要素でサンプルされた３次元物体の画像の計
   算および処理方法であって、この画像はＸ線による錐形
   射影で例えば照射され、 ガウス基本関数（ｂ＿ｊ）の空間についてサンプルとな
   った３次元物体を分解し、 各射影画像要素ごとに、該当する画像要素に射影される
   体積要素に対応する基本関数の寄与（ａ＿ｊ）を計算し
   、各寄与が、体積要素に関する基本関数と、該当する画
   像要素の照射用の支持線を表す関数（ｇ＿ｊ）との積の
   積分に等しく、 射影された画像が処理される方法において、支持線を表
   す関数の代わりにガウス加重関数を用いることを特徴と
   する方法。
2. （２）上記ガウス加重関数が、照射に対して垂直の方向
   に標準偏差を有し、該標準偏差の値が照射半径での体積
   要素の位置の関数であることを特徴とする請求項１記載
   の方法。
3. （３）上記標準偏差の値が、該当する体積要素の位置の
   一次関数であることを特徴とする請求項２記載の方法。
4. （４）上記標準偏差の値が、該当する体積要素の近傍で
   局所的に一定であるとみなすことを特徴とする請求項２
   記載の方法。
5. （５）切頭ガウス加重関数が選択されることを特徴とす
   る請求項１記載の方法。
6. （６）サンプル体積内でのサンプルの幾何学的寸法の３
   ／２にほぼ等しい切断半径（Ｒ＿ｇ）を有する切頭ガウ
   ス加重関数が選択されることを特徴とする請求項５記載
   の方法。
7. （７）反復的、可分でかつ局所的な基本関数が選択され
   、 上記寄与の計算が、上記基本関数の支持線の中心（Ｖ＿
   ｊ）の幾何学的射影の座標（ｘ＿ｊ’、ｙ＿ｊ’）の関
   数の指数関数を計算することにより実施されることを特
   徴とする請求項１記載の方法。
8. （８）上記基本関数の寄与を計算するために、σ＿ｘ＿
   ’＾２＝σ＿ｂ＾２・ＦＭＡＧ（ｚ＿ｊ）＾２＋σ＿ｇ
   ＾２σ＿ｙ＿’＾２＝σ＿ｂ＾２・ＦＭＡＧ（ｚ＿ｊ）
   ＾２／ｃｏｓ（τ）＋σ＿ｇ＾２を設定することにより
   、次の式： ▲数式、化学式、表等があります▼ ただし、 ＦＭＡＧは、座標ｚ＿ｊにより、射影の錐形性を考慮に
   いれる拡大係数を示し、 σ＿ｂとσ＿ｇは、基本関数と加重関数の標準偏差をそ
   れぞれ示し、 δ＿ｘ、δ＿ｙ及びδ＿ｚはサンプルの幾何学的寸法で
   あり、 τは、直角射影に対して、該当する画像要素への射影の
   傾斜を測定する） が与えられることを特徴とする請求項１記載の方法。
9. （９）−中央高さでの幅が、サンプル体積内のサンプル
   の幾何学的寸法にほぼ等しいガウス加重関数を選択する
   ことを特徴とする請求項１記載の方法。
10. （１０）サンプル関数により物体を推定し、推定された
    サンプル関数を射影し、 射影された推定サンプル関数の射影を物体の射影による
    検査から得られた測定値と比較し、そこから物体の新し
    い推定値を演繹し、 比較結果が満足できるまで上記操作を繰り返す検査中の
    物体の３次元再構成の方法であって、サンプル関数を射
    影するために、 ガウス基本関数の空間についてサンプルされた３次元物
    体を分解し、 推定されたサンプル関数の各射影画像要素について、該
    当する射影画像要素に射影される物体の体積要素に対応
    する基本関数の寄与を計算し、各寄与が、体積要素に関
    する基本関数と、該当する画像要素の照射用の支持線を
    表す関数（ｇ＿ｊ）との積の積分に等しく、 再構成された画像が処理され、 基本支持線を表す関数の代わりにガウス加重関数を用い
    る ことを特徴とする方法。