JP2952314B2 - サンプル３次元物体の例えばｘ線による錐形射影での画像の計算及び処理方法と、該計算方法を利用した検査物体の３次元再構成方法 - Google Patents

サンプル３次元物体の例えばｘ線による錐形射影での画像の計算及び処理方法と、該計算方法を利用した検査物体の３次元再構成方法

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Description

【発明の詳細な説明】 産業上の利用分野 本発明は、体積要素でサンプルされた３次元（3D）物
体の例えばＸ線による錐体射影での画像の計算および処
理方法、ならびにこの計算方法を利用した検査物体の３
次元再構成方法に関する。本発明は、特に、検査すべき
物体が、放射線検査を受ける患者の身体である医療分野
に応用される。このため、本発明は主に３次元再構成法
に関する。しかし、本発明はまた２次元再構成法にも応
用可能である。同様に、本発明はサンプルされた物体の
視覚表示に使用することができる。本発明の目的は、検
査中の3D物体を表すより鮮明な画像の迅速な生成に寄与
することである。
従来の技術 撮像すべき断面で実施された放射線断層密度計測で
（1D）獲得後、物体の断面の画像の２次元（2D）再構成
を実現することはすでに公知である。断層密度計の異な
る世代により、第３世代において扇形ビーム断層密度計
を使用するに到った。この扇形ビーム断層密度計では、
Ｘ線点源が、扇形ビームの平面中に並べられた複数のセ
ルを備えたいわゆるマルチディテクタにＸ線照射する。
検査すべき物体は、Ｘ線源とマルチディテクタの間に配
置される。獲得には一続きの照射が行われる。１つの照
射から次の照射へと、Ｘ線源とマルチディテクタから構
成される集合体が検査すべき身体の周りを回転する。ｓ
が上記マルチディテクタ上の１セルの縦座標を示し、θ
が照射時点におけるＸ線源−マルチディテクタ集合体の
位置の角度を示すとすると、Ｐ（θ,s）で表される一連
の放射線吸収測定値が得られる。該当する断面におい
て、検査すべき物体の体積要素の座標をｘ、ｙとして示
し、物体を通過するＸ線の線形減衰関数にｆ（x,y）を
表すとすると、 Ｐ（θ,s）＝I0exp−∫xf（x,y）dt ・・（１） と表すことができる。この式では、Ｘは、Ｘ線管−マル
チディテクタ集合体が、方向θにあるときセルｓに到達
するＸ線を示す。I0は入射密度である。この式は、線源
が単一エネルギー的である、すなわちｔがＸ線に沿った
一方向の曲線横座標である場合にだけ有効である。
ラドン理論の適用には、 で表されるＰ（θ,s）の１次元フーリエ変換を見け出す
必要があった。
で表されるｆ（x,y）の２次元フーリエ変換を見出すこ
とにより、角度θの直線上で求められる を特定することができる。このことから、 に対する、全て変換 （変数と内挿を変えた後）から得られた２次元フーリエ
逆変換により、測定値Ｐ（θ,s）から検査中の断面にお
けるｆ（x,y）の分布を計算することが可能であること
が導き出された。
実際には、過度に長い計算を必要とするフーリエ変換
を避け、後方射影が後に続くいわゆるフィルタリング技
術が利用されている。フィルタリングは、フィルタ関数
ｑ（ｓ）を用いて、測定値を表す関数Ｐ（θ,s）のたた
みこみ積分を計算するものである。この積分は次の通り
である。
この式では、ｔは積分の見掛け変数である。フィルタ
の選択（実質的には、すでに述べた変数および内装の変
更時に生じるのと同じ問題を解決することである）は、
得られた画像の品質を支配する。後方射影操作におい
て、たたみこみ値は該当するＸ線の通路（θ,s）上に位
置する検査中の物体の断面の体積要素〔ボクセル（voxe
l）〕の全てに割り当てられる。そこから画像を導き出
すために、割り当てられた様々なたたみこみ値が各ボク
セルについて累加される。
現在まで、データの獲得および検査された構造の3D再
構成は、検査される身体に沿って、Ｘ線源−マルチディ
テクタ集合体を並進運動で移動させ、この身体中の多数
の隣接した2D断面画像を獲得することにより実施されて
きた。しかし、この方法は、影を得るために血管中に造
影剤を注入する血管造影法には全く勧められない。この
ような造影剤の注入は、特に何度も繰り返すと患者に外
傷を負わせる危険性がある。例えば、身体中で256個の
隣接した断面の画像を獲得したいとき、造影剤の注入を
256回行うことは禁止されている。血管造影法における
このような禁止の他にも、2D獲得および対応する2D再構
成の技術は、3D物体を再構成するために使用するにはあ
まりにも時間がかかることは認識すべきである。実際に
は、断面画像中で256点当たり256点の平均解像度では、
現在の断層密度計による獲得時間は約４秒である。そこ
で、256個の断面に必要な獲得は、約30分の検査時間と
なる。この時間の長さは、患者が耐えるのにはあまりに
長すぎ、全体として公衆保健機関（全体コスト）にとっ
ても長すぎる。
理論では、3D獲得を実施し、検査すべき物体の3D再構
成を直接行うことによりラドン法を一般化することが可
能である。3D再構成とは、検査中の体積体のボクセルを
表すアドレスに位置したメモリセルが、物体中で調べら
れている（放射線学的）現象の分布に対応する情報の項
目を含む数値体積の計算を意味する。しかし、ラドン理
論では、再構成すべき検査中の空間の次元より１次元小
さい次元を有する二次空間アセンブリ、すなわちいわゆ
る超平面（ハイパープレーン）中で撮像すべき物理的特
性の積分に対応する測定値を獲得しなければならない。
言い換えれば、3D空間の場合には、2D超平面について積
分された測定結果を得る必要がある。実際には、点ディ
テクタを用いた放射線獲得は、（1D）直線:X線に関する
特性の積分でしかないのである。実際に線源の軌跡が理
論により定められた条件を満たさない事象においては、
獲得に役立った全ての直線（Ｘ線）に沿った射影の認識
に単純に基づいても、再構成に必要な全ての超平面に沿
った射影を計算することはできなくなる。言い換えれ
ば、測定値のラドン空間では点が見失われる。ラドン空
間は、均一には埋められない。その結果、得られた3D再
構成にはアーティファクトが現れることになる。２次元
マルチディテクタが（多数のシリコンフォトディテクタ
を配置し、放射線画像増強スクリーンを使用）が現在考
えられている、この方法による3D再構成は、血管に応用
する場合のように、多数のデータを供給できないときこ
の方法が導く結果の不完全を考慮して、まだ望ましい目
標として留めておくべきである。
次のような原理に基づいた根本的に異なる代数的な再
構成が検討されてきた。平面もしくは凹面の２次元マル
チディテクタにより獲得された１組の測定値Ｐ（θ，
τ,s）はすでに公知である。また、表現しようとする放
射線吸収現象を表す連続関数ｆ（x,y,z）が存在するこ
とも知られている。再構成によりｆを決定する必要があ
る。実際には、全ての計算がデータ処理形式の処理によ
り行われることを考慮に入れて、出力におけるｆの認識
はサンプル化された認識である。新しい方法は、で示
され、先験的に設定された離散関数を用いてｆを求める
ものである。例えば、は、最初全ボクセルが１（また
はゼロ）に設定された数値体積から成る。次に、この離
散関数は、検査中の体積がこの離散関数に厳密に対応す
るかのように、マルチディテクタ上で射影される。この
ようにして、ｉ（ｆ）として表される推定が得られ
る。これは、 ｉ（ｆ）＝Hi ・・・（３） とも表すことができる。
これらの式で、ｉはマルチディテクタのセル番号ｉで
あり、Hiは、セルｉに対応する射影マトリクスＨの行ｉ
を表す。射影マトリクスＨは、検査中の身体から独立し
ている。このマトリクスは、射影幾何学にのみ依存して
おり、射影幾何学のモデル化を構成する。次に、
ｉ（ｆ）（推定値）とPi（ｆ）（測定値）を比較する。
同一性がなく、最初から同一性がないことが明らかな場
合には、が訂正される。訂正するためには、再構成す
べき物体上に測定射影と計算射影の間の差の値により後
方射影を行う。これは、ｋ ＝k-1＋λｋ（Hi ＊εi k）/|Hi|2 ・・（４） （但し、HiはHi ＊の随伴演算子であり、εi kは、反復ｋ
−１での測定射影と計算射影の差である）で表される。
このような射影の組は、ｉ（ｆ）とPi（ｆ）の同一
性が充分になるまで繰り返される。この方法は、アカデ
ミックプレス（Academic Press）1980年刊行ハーマン
（G.T.Herman）著「射影からの画像再構成（Images rec
onstruction from projection）」に説明されている。
さらに、射影マトリクスＨが、１および０を持つ２進
マトリクスである場合には、結果は不十分なものであ
る。このように、第１の解決法は、線源Ｓとマルチディ
テクタ上の各セルの中心とを結ぶ直線Ｄに沿って取られ
たｆの線積分によりを得るというものであった。つま
り、このようにセルの実表面も、該セル上の射影の円錐
特性も考慮にいれられていないので、各セルは無限に寸
法が小さくなると考えられる。この線積分の計算はいく
つかの方法で実施することができる。最も単純な方法
は、Ｘ線が横断したボクセルの値の加重和により線積分
を達成することである、これは、 のように表すことができる。
この式で、fjは、（Ｘ線が）透過したボクセル（サン
プルとなった体積要素）の各々における吸収関数を表
し、hijは、このボクセルがセルｉに到達するＸ線によ
り横断された場合に値fj＝ｆ（xj,yj,zj）に割り当てら
れる加重を表している。この荷重は、Ｘ線とＸ線が透過
したボクセルとの間の交差の長さから導くことができ
る。この近似法、すなわち引用した最初の文献に記載さ
れいるようないわゆる正方形画素法で得られた結果は、
残念なことに意図していた応用には不十分な品質のもの
であった。
アイイーイーイー−エムアイ（IEEE−MI）、第１巻、
第３号の192〜196頁にあるジョセフ（P.M.Joseph）によ
る論文「画素画像を通したＸ線再照射のための改善され
たアルゴリズム（An improved algorithm for reprojec
ting rays through pixel images）」には、別の加重計
算が考えられ、説明されている。この計算法の基本的な
考えは、Ｘ線が続く直線と、マルチディテクタセルの中
心に到達するＸ線が通ったあるいはこのＸ線が触れたボ
クセルの中心を通過する水平（または鉛直）直線との交
差点で得られるｆの内挿値に関する和によりｆの線積分
を達成するというものである。これら交差点におけるｆ
の値は、Ｘ線の直線の勾配に沿った水平方向（もしくは
鉛直方向）の最も接近して位置している２つのサンプル
の間の線形内挿により求められる。
正方形画素法の一般化が、応用光学（Applied Optic
s）第24巻第23号（1985）4028〜4039頁の「計算断層撮
影のための局所基本−関数（Local basis−functions a
pproach to computed tomography）」において、ハンソ
ン（H.M.Hanson）およびウェクサング（G.W.Wecksung）
により提案されている。この一般化では、連続関数ｆ
（x,y,z）がサンプルｆ（xj,yj,zj）から構成され、こ
のマルチディテクタのセルｉ上の連続関数の射影が計算
される。この一般化において、関数ｆは、一組の基本関
数bj（x,y,z）の線形組合わせとして定義され、 で表すことができる。
この式では、ajは、最終的な分析で求められる関数ｆ
の既述を表しており、関数bj（x,y,z）は公知である。
局所的では、反復的かつ可分の基本関数が通常利用され
る。「局所的である」とは、各関数bjの支持線が、ｆの
支持線と比較して小さいことを意味する。「反復的であ
る」とは、各関数bjが単一関数ｂ（x,y,z）からの変換
により演繹されることを意味する。この演繹法は、 bj（x,y,z） ＝ｂ（ｘ−xj,y−yj,z−zj） ・・（７） で表される。「可分である」とは、 ｂ（x,y,z） ＝bx（ｘ）・by（ｙ）・bz（ｚ） ・・（８） となるような３つの関数bx（ｘ）、by（ｙ）、bz（Ｚ）
が存在することを意味する。
bxが、byおよびbzに等しく、これら関数が、方形波関
数に等しい事象においては、いわゆる正方形画素方法が
再び出現することに留意されたい。基本関数の方法によ
り得られる一般化は、すでに述べた他の方法への復帰を
可能にするが、これらの方法にさらに明瞭な数学的基礎
を与えると、実施された操作はさらに容易に理解される
と言うことができる。実際には、最良の結果は、Ｂ−ス
プライン、主要正弦、ハミング関数、あるいは望ましく
はガウス関数のような基本関数を用いて得られる。この
ような基本関数により得られた結果は、勿論計算時間は
長いが、ジョセフ方法により得られる結果より品質が優
れている。
ｆの推定値を射影する操作は、実際には、 を計算することである。
この式では、giは線源ｓとセルｉにより形成される扇
形の外側でゼロ値（または非常に小さい値）を有する加
重関数を示す。関数giは、セルｉの照射用の錐形支持線
を表す。これは、 と表すことができるので、の計算は全重みhijの計算
となる。各重みhijはセルｉ上の物体の射影への基本関
数bjの寄与を表す。
発明が解決しようとする課題 ３つの変数の関数ｆのサンプルfjの認識から出発し
て、本発明の目的は、検出セルｉに関するｆの射影の数
値計算を可能にすると共に、得られた結果の優れた品質
と、非常に短時間の計算の両方を確実にすることであ
る。これら２つの基準（品質と速度）は、代数的再構成
法による一組の2D錐形射影からの関数ｆ（x,y,z）の再
構成に必須である。従来技術の射影方法では、望ましい
品質と速度を確実にすることができなかったが、本発明
はこれを可能にする。
課題を解決するための手段 そこで、本発明は、体積要素でサンプルされた３次元
物体の画像の計算および処理方法であって、この画像は
Ｘ線による錐形射影で例えば照射され、 ガウス基本関数（bj）の空間についてサンプルとなっ
た３次元物体を分解し、 各射影画像要素ごとに、該当する画像要素に射影され
る体積要素に対応する基本関数の寄与（aj）を計算し、
各寄与が、体積要素に関する基本関数と、該当する画像
要素の照射用の支持線を表す関数（gj）との積の積分に
等しく、 射影された画像が処理される方法において、 支持線を表す関数の代わりにガウス加重関数を用いる
ことを特徴とする方法に関する。
本発明はまた、検査中の物体の３次元再構成方法であ
って、再構成すべき関数ｆを反復的に見出すために、再
構成すべき物体を先験的に表すサンプル化離散関数から
出発して、反復的に上記計算方法を使用する方法に関す
る。この場合、画像要素は2Dマルチディテクタの１セル
で識別される。
実施例 第１図は、マルチディテクタＤの検出セルｉが、身体
Ｃを通過後の放射線の減衰を確実に測定できるするよう
な方法で身体Ｃを照射するＸ線源Ｓを示す。以下に行う
説明では、使用されるマルチディテクタは平面（放射線
輝度増強スクリーンの外表面が平面とみなして）である
と仮定する。しかし、本発明は、光検出セルを備えたシ
リコンマルチディテクタと同様に凹状のマルチディテク
タの使用に容易に適用することができる。このタイプの
凹状マルチディテクタは、照射する錐形Ｘ線に対してあ
らゆる点において表面が垂直である。
第２図は、３つの直接正規直交基準フレームを示す。
第１正規直交フレームx,y,zは、身体Ｃと一体である。
線源ＳとマルチディテクタＤから構成される集合体の１
つの位置について、これは線源Ｓと一体であるとみなす
こともできる。平面と仮定されるディテクタＤは、上記
マルチディテクタの平面上の線源Ｓの正規直交射影であ
るＰとして示される中心点により特徴付けられる。それ
に応じて、ディテクタＤに属する基準フレームｘ′,
y′,z′は、ｚ′がSPと同一線上で、かつ同方向にあ
り、ｘ′及びｙ′（単純化合のため、ディテクタＤの直
交する縁に沿って方向付けされている）はｚ′と共に直
接正規直交基準フレームを形成している。セルｉは、デ
ィテクタＤの平面上の正方形と仮定され、ziがSPi（Pi
はセルｉの中心である）と同一線上にあるような直接正
規直交基準フレームxi,yi,ziに属する。正規直交ベクト
ルxiとyiはziと直交し、ベクトルxiはディテクタＤの平
面に含まれている。Ｘ線SPiは、ベクトルxiを含む平面
πｉに垂直である。
上述した説明に従って、本発明は、基本関数へのｆの
分解の一般原理を利用している。選択された基本関数は
局所的、可分、反復的で、ガウス基本関数である。その
結果、 bj（x,y,z）＝bx（ｘ−xj）・by（ｙ−yj）・bz（ｚ−z
j） のとき、 と表すことができる。
ここで、空間の３つの方向において解像度が同じであ
る格子上にサンプルボクセルが分布されていると仮定す
る。δｘ、δｙおよびδｚが、３つの軸ｘ、ｙおよびｚ
に沿ったサンプリングピッチを示すとすれば、 δｘ＝δｙ＝δｚ ・・（12a） と表すことができる。
このとき、一般式： bx（ｕ）＝δｘ・Ｇσｂ（ｕ） ・・（12b） を有するガウス関数が選択される。
この式では、Ｇσｂ（ｕ）は、 |u|≦Rbのとき、 また、|u|＞Rbのとき、 Ｇσｂ（ｕ）＝０ ・・（13） のような標準偏差σｂを有する切頭ガウス関数を示す。
上記式で、切頭ガウス関数の切断の半径の値Rbならび
に標準偏差σｂは、ユーザが選択することができる。ガ
ウス関数は、計算がデジタルコンピュータ中で必然的に
制限されるので、切断される。しかし、この切断は、計
算の妥当性に認め得るほどの影響を及ぼさない。実用的
に優れた結果は、中央高さでの幅がσｘに等しいガウス
関数、すなわち、標準偏差が、 により与えられるガウス関数を採用することにより得ら
れた。これは、中央高さでの幅とガウス関数の標準偏差
の間に比 が存在するためである。上記式において、ｎは自然対
数を表す。
同様に、半径Rbについて満足のゆく実験値はRb＝３δ
x/2であった。採用した項δｘ、δｙ、δｚは、ｆが一
定関数〔すなわち、ｆ（x,y,z）＝ａ〕である場合に、
係数ajが一定で、ａとほとんど同じであることを確実に
する標準化信号である。この標準化により、必要であれ
ば、サンプルfjとガウス関数の係数ajの間の移行を単純
化することが可能になる（近似的にaj＝fjを選択するこ
とにより）。しかし、この標準化は本発明において必須
ではない。
公知のように、加重関数giは、頂点Ｓと、底面として
のセルｉを有する多面体内では負ではなく、この多面体
の外側ではほぼゼロでなければならない。さらに、この
多面体内では、平面zi（軸FPiに対して直角にある平
面）の各々に割り当てられた重みは、これらの面の各々
が、線源から発する同数のＸ線と交差するので、同じで
なければならない。この制約の結果、セルｉに属する基
準フレームxi,yi,zi中で求められる積分： ∬gi（xk,yk,zk）dxkdyk ・・（15） は、zkから独立していなければならない。
これら２つの条件を満たすために、本発明では特殊な
加重関数jiを採用した。これら関数はガウス関数であ
る。これらは切頭ガウス関数であることが望ましい。実
際には、各平面zi＝一定において、これら関数は2Dガウ
ス関数である。しかし、3D空間では、これら関数はガウ
ス関数ではない。それでもその数学的公式化にはガウス
関数の使用が必要である。
第３図は、ディテクタＤの平面中での加重関数の１つ
の限定を概略的に示したものである。極く僅かな近似値
以内で、この限定は切頭2Dガウス関数である。このガウ
ス関数の中心はPiであり、この標準偏差はσｇ、その切
断半径はRgである。標準偏差σｇと半径Rgは、ユーザが
選択することができる。ディテクタの平面中の位置を採
用する代わりに、giの数学的表現を与えるためには、セ
ル（xi,yi,zi）の基準フレーム中の位置を採用する方が
好ましいであろう。Ｏが、中心Pi、半径σｇを有するデ
ィテクタ平面中の円を示すとすると、セルｉに属し、す
でに定義された平面πｉ上の該円の方向ziでの射影は楕
円であると仮定することができる。この楕円はxiとyiに
沿った方向の軸を有する。xiがディテクタＤの平面およ
び平面πｉと共通であることを考慮に入れ、半径SPiが
角度τ（第２図）で半径SPに対して傾斜していることを
測定により確実にすることにより、 と表すことができる。
次に、giに関して、次の形： gi（xk,yk,zk） ＝Ｇσgx（zk）（xk）・Ｇσgy（ZK）（yk） ・・（17） の可分式を選択することができる。
この式では、Ｇσ（ｕ）は、 |xk|≦Rgx(zk)のとき、 また、|xk|＞Rgx(zk)のとき、 Ｇσgx（zk）（xk）＝０ ・・（18） となるような切頭1Dガウス関数である。
Ｇσgy（zk）も同様に定義する。これらの式で、Rgx
は、軸xi上の切断の半径である（同様に、Rgyは軸yi上
の切断の半径である）。実際は、ガウス関数はzkにより
パラメータ表示されている。というのは、射影の錐形特
性により、標準偏差が明らかに線源Ｓに対して加重され
た基本関数の高さに依るものであるからである。このた
め、標準偏差σgx（zk）およびσgy（zk）は、 により定義される。
SPi/zkは、ziに平行な平面πｉ上の射影の拡大比とし
て示される。
FMAG（zk）＝SPi/zk ・・・（20） と表すことができる。
同様に、切断半径をFMAGの関数として、 のように定義することができるであろう。
このように定義されたgiは次のような特性を持ってい
る。平面πｉ中のgiの限定は、定義により、xiに沿った
標準偏差σgxと、yiに沿った標準偏差σgyを有する切頭
2Dガウス関数である。giの支持線は、頂点Ｓ、軸SPi、
ならびに楕円形の底面（平面πｉ中で）を有する錐形で
ある。ディテクタ平面でのgiの限定は、標準偏差σ
ｇ（ｘ′またはｙ′に沿った）を有する切頭2Dガウス関
数と同じである。この限定の支持線は、中心Piと半径Rg
を持った円とほとんど相違ない。giの制限のための支持
線は、線源Ｓが実際には無限ではないので、完全な円で
はない。線源Ｓが無限で、平面πｉ中での射影が実際に
楕円形であれば、ディテクタ平面での射影は厳密に円と
なる。射影が円錐状であるので、射影された円は若干変
形している。この結果生じたエラーは、二次的なもので
あり、無視することができる。さらに、このように選択
された関数giは、必要条件を満たし、これによって、 ∬gi（xk,yk,zk）dxkdyk ・・（22） が、ziから独立する。実際に、この二重の積は、 ∬Ｇσgx（zk）（xk）・Ｇσgy（ZK）（yk）dxkdyk≒
１ ・・（23） のように表すことができ、一定である。使用されたガウ
ス関数は純粋なガウス関数ではなく、切頭関数であるの
で、相等性は厳密ではない。最終的に、基本関数の場合
のように、実際には、ガウス関数の中央高さでの幅が、
ボクセルの幅（属する基準フレーム中の検出セルの位置
で）と等しいような加重関数の標準偏差が選択される。
同様に、この幅の3/2に等しい切断Rgの半径が選択され
る。その結果、射影ｉ（ｆ）の推定のために得られた
式は、次の通りである。
ただし、 Ａ＝Ｇσgx（zk）（xk）・Ｇσgy（ZK）（yk） 前記の式で、変数zkを排除できることは明らかであろ
う。これは、近似を犠牲にしても可能である。前述の応
用において十分に確認されたように、検出セルのサイド
δＸ′は、距離SPまたはSPiと比較して非常に小さいと
仮定する。本発明が今使用されている条件において、例
えば、δＸ′は0.8mmにほぼ等しく、SPは1200mmにほぼ
等しい。この仮定に関して、giの支持線に対応する円錐
の頂点における角度αは非常に小さい。上記の数値をあ
てはめると、α≒0.04゜となる。
基本関数3Dbjを考慮すると、その支持線がgiの支持円
錐と空交差するか否かがわかる。この交差が空となる場
合には、その射影ｉ（ｆ）への寄与はゼロである。そ
の反対の場合には、交差は、 のような２つの平行な半平面により結合される。
この式において、zjは、基本関数bjの中心が置かれる
点Vjの参照セル（xi,yi,zi）中のレベルを示す。第４図
は、点Vjについて限定される関数bjの定義の局所領域を
示す。この領域は、半径Rbによって限定される円である
（Rbは、bjを定義するガウス関数の切断半径である）。
第４図は、式11により与えられる積分を示している。局
所基本関数を考慮に入れる限り、該当する検出セルの加
重関数の支持線の一部分との交差を求める。支持線のこ
の部分は通常楕円錐台であり、その最大の底面は、高さ
zj−Rbにより設定され、またその最小の底面は高さzj−
Rbにより設定される。本発明において、一方でαが非常
に小さく、他方でRbもまた小さい（「局所」底面の仮定
に基づく）ことを考慮に入れると、この円錐台は、軸SP
iを有する円筒要素により、gjの近傍に接近し得ること
は明らかになった。言い換えれば、zkが、間隔（zj -,zj
+）に属するところでは、 σgx（zk）≒σgx（zj） 故に、σgx（zk）≒σg/FMAG（zj） また、σgy（zk）≒σgy（zj） 故に、σgy（zk）≒σgcos（τ）/FMAG（zj） ・・・（26） と表すことができる。
この式では、ｋは加重関数に属するのに対し、ｊは基
本関数に属する。最後の式によってもたらされる利点
は、σgy（zk）が、近似により、zjだけに依存するの
で、σgy（zk）はzkから独立していることである。この
ような条件下で、式24の近似（ｆ）の計算は、単純化
され、 になる。というのは、関数は可分であるので、従って積
分は可分であり、また、 となるからである。
xkの積分とykの積分とを分離することにより、 と表すことができる。
実際には、所与の値ｉの場合には、この最後の式の２
つの積分の各々を２つの有心ガウス関数のたたみこみと
して解釈することができる。２つの有心ガウス関数のた
たみこみは、同じく有心であるガウス関数として公知で
ある。このガウス関数の分散は、初期ガウス関数の２つ
の分散の和に等しい。これによって、計算後、非常に単
純な式： 従って、ｉ（ｆ）の場合には、 が導かれる。
分散σx 2及びσy 2の式は、次の通りである（分散の
和）。
しかし、用いた関数が切頭ガウス関数である限り、こ
れらの関係が近似にすぎないことに留意しなればならな
い。最後の式は、一切の積分計算が取り除かれているの
で、かなり有利である。その結果、本発明においてこれ
まで証明してきた近似を用いて、非常に単純な計算によ
りサンプル化された関数の射影を計算することができよ
う。
これらの式では、σgxおよびσgyは、FMAGの関数とし
てのそれらの値に置き換えることができる。最後の式
は、 σx 2＝σb 2＋σg 2/FMGA（zj）２ σy 2＝σb 2＋σg 2cos2（τ）/FMGA（zj）２ ・・・（32） と表される。
式（30）にある値xjおよびyjは、各セルｉについて、
セル基準フレームにｉに関するボクセルの座標である。
射影アルゴリズムｆを単純化するためには、ディテク
タ基準フレームに関する座標だけを使用すればさらに有
利である。このため、xi、yi′およびzi′により示され
るディテクタ平面の第２直接正規直交基準フレームを挿
入することができる。この基準フレームの第１ベクトル
は、セル基準フレームｉの第１ベクトルと同じである。
これは、すでに述べたように、ベクトルxiもまたディテ
クタ平面に属しているので、可能である。ベクトルzi′
は、ディテクタ平面に属する基準フレームのベクトル
ｚ′に平行である。ベクトルyi′は、直接基準フレーム
の第３ベクトルとして上記ベクトルxiおよびzi′から導
き出される。ベクトルxiおよびyi′が、角度θ（第２
図）（ここでθはベクトルｙ′と軸PPi′間の角度）を
介した平面回転によりベクトルｘ′およびｙ′から導き
出されることがわかる。しかし、実際には、説明した射
影アルゴリズム構造に関する理由から、用いる角度は角
度θではなく、近似値θ′である。角度θ′は軸ｙ′と
軸PVｊ′間の角度として定義される。ここで、Ｖｊ′は
ディテクタ上のVjの射影である。この点は、第２図なら
びに第４図に示されている。Ｖｊ′の射影が、加重関数
の局所特性により、Piの近傍に来るときだけＶｊ′が考
慮に入れられる限り、上記近似は説明される。従って、
この近似の結果、過度の再構成エラーを伴うことなく、
上記式においてθをθ′に置き換えることができる。
式30にある値xjおよびyjは、セル基準フレームｉ内で
は、基本関数bjの中心Vjの横座標および縦座標である。
座標xjおよびyjをベクトルPiVｊ′の平面基準フレーム
（xi,yi）中の座標の関数として表す。PiVｊ′の座標は
（ｘ′j,y′ｊ）として示す。ベクトルPiVｊ′は、ディ
テクタの平面上で方向SPiの座標（xj,yj）のベクトルの
射影に等しい。従って、 が導き出される。これは、 σｘ′ ２＝σb 2・FMAG（zj）２＋σg 2 σｙ′ ２＝σb 2・FMAG（zj）2/cos（τ）＋σg 2 を設定することにより、前記式を変形する最終式： を導くことができる。
指数関数の利点は、積分計算の代わりに、予め計算さ
れ、図表作成が可能な関数を使用することである。これ
により、時間が節約される。
得られた結果は、射影の計算用に提案されるアルゴ
リズムの全体的説明を行うことによりまとめることがで
きる。サンプルfjは、通常関数の各値ｊに使用可能で
ある。これらは、射影マトリクスを用いて射影され、射
影ｉ（ｆ）の推定がｉの各値について得られることに
なる。この推定値は実際に測定された値と比較し、そこ
から差異（あるいは残り）の後方射影によりｆの新しい
サンプリング値を導き出し、推定が次第に所望する関数
に出来る限り近づくまで、この計算全体を繰り返す。従
って、このアルゴリズムは次のような段階を含む。
−サンプルの基礎からガウス基本関数の基数へ移る。こ
れは、fjがわかっているとき、係数aj全てを計算するこ
とである。最初に、基本関数bjが結合された支持線を有
していることを考慮に入れて、この操作を単純化すると
共に、用いたガウス関数が、該方法の第１段階でaj0≒f
j0を選択することによりボクセルの寸法と同じくらいの
中央高さでの幅をもつことを指摘することができる。こ
の関係は近似的であるが、実用面では充分である。
−全てのｉ（ｆ）をゼロに初期化し、 −ｊの各値について、 ・ディテクタ上の基本関数の中心Vjの射影である点Ｖ′
ｊのディテクタ基準フレーム内での座標を計算し、 ・そこからθ′＝角度（ｙ′,PV′ｊ）を導き出し、 ・高さzjに位置する上記基本関数の場合に関数FMAG
（zj）を計算し、 ・SPとSPi間で形成される角度τを計算し、 ・σｘ′およびσｙ′を計算し、 ・ディテクタ上の基本関数bjの支持線の射影に属するデ
ィテクタ平面の画素（xi′,yi′）の各々の場合に、 ・xj′およびyj′を計算し、 ・基本関数bjの画素xi′、yi′への寄与であるhijを計
算し、 ・インクリメントｉ（ｆ）＝ｉ（ｆ）＋hijfjを行
う。
本発明によるアルゴリズムは、所望の関数ｆを再構成
するためだけに使用する必要はないことが理解されるで
あろう。適切にサンプル化された関数ｆがわかっている
とき、このアルゴリズムにより、画定すべき主方向SPで
の錐形射影における上記関数の画像を提供することが可
能となる。従って、本発明の利点は、人為的構造なしに
画像を提供する点であり、この画像は従来の技術より速
く得ることができる。
基本関数の高さの関数でもある標準偏差を有するガウ
ス加重関数（上に示した全ての単純化を伴う）を選択す
ることにより、通常照射の円錐性に自然に適合した加重
が実現される。このように、アーティファクトを減少
し、再構成を加速することができる。
本発明が、あらゆる種類の画像もしくは計算された再
構成の処理に関することは明らかである。このような処
理操作には、特に再構成された構造あるいは計算された
画像の視覚表示が含まれる。
【図面の簡単な説明】
第１図は、Ｘ線照射源とマルチディテクタの概略を示
し、 第２図は、検出セルの座標を表すために用いることがで
き、単純化された計算を可能にする異なる基準フレーム
を表示する幾何学的図面であり、 第３図は、本発明に従う加重関数（３次元）を概略的に
示し（単純にするため２次元とした）、 第４図は、射影に関して、採用した単純化された計算を
証明する幾何学的特性を示す。 （主な参照符号） Ｓ……Ｘ線源、Ｃ……身体、 Ｄ……マルチディテクタ、 ｉ……検出セル
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 アンヌ ルージュ フランス国 92260 フォントゥネオ ローズ リュ アントワーヌ プティ ４ベー (72)発明者 ケネス ハンソン アメリカ合衆国 87544 ニュー メキ シコ ロス アラモス ラ センダ ロ ード 122 (56)参考文献 特開 昭63−253481（ＪＰ，Ａ) (58)調査した分野(Int.Cl.6，ＤＢ名) G06T 1/00 A61B 6/03 G01N 23/04

Claims (10)

    (57)【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】体積要素でサンプルされた３次元物体の画
    像の計算および処理方法であって、この画像はＸ線によ
    る錐形射影で例えば照射され、 ガウス基本関数（bj）の空間についてサンプルとなった
    ３次元物体を分解し、 各射影画像要素ごとに、該当する画像要素に射影される
    体積要素に対応する基本関数の寄与（aj）を計算し、各
    寄与が、体積要素に関する基本関数と、該当する画像要
    素の照射用の支持線を表す関数（gj）との積の積分に等
    しく、 射影された画像が処理される方法において 支持線を表す関数の代わりにガウス加重関数を用いるこ
    とを特徴とする方法。
  2. 【請求項２】上記ガウス加重関数が、照射に対して垂直
    の方向に標準偏差を有し、該標準偏差の値が照射半径で
    の体積要素の位置の関数であることを特徴とする請求項
    １記載の方法。
  3. 【請求項３】上記標準偏差の値が、該当する体積要素の
    位置の一次関数であることを特徴とする請求項２記載の
    方法。
  4. 【請求項４】上記標準偏差の値が、該当する体積要素の
    近傍で局所的に一定であるとみなすことを特徴とする請
    求項２記載の方法。
  5. 【請求項５】切頭ガウス加重関数が選択されることを特
    徴とする請求項１記載の方法。
  6. 【請求項６】サンプル体積内でサンプルの幾何学的寸法
    の3/2にほぼ等しい切断半径（Rg）を有する切頭ガウス
    加重関数が選択されることを特徴とする請求項５記載の
    方法。
  7. 【請求項７】反復的、可分でかつ局所的な基本関数が選
    択され、 上記寄与の計算が、上記基本関数の支持線の中心（Vj）
    の幾何学的射影の座標（xj′,yj′）の関数の指数関数
    を計算することにより実施されることを特徴とする請求
    項１記載の方法。
  8. 【請求項８】上記基本関数の寄与を計算するために、 σｘ′ ２＝σb 2・FMAG（zj）２＋σg 2 σｙ′ ２＝σb 2・FMAG（zj）２＋/cos（τ）＋σg 2 を設定することにより、次の式： ただし、 FMAGは、座標zjにより、射影の錐形性を考慮にいれる拡
    大係数を示し、 σｂとσｇは、基本関数と加重関数の標準偏差をそれぞ
    れ示し、 δｘ、δｙ及びδｚはサンプルの幾何学的寸法であり、 τは、直角射影に対して、該当する画像要素への射影の
    傾斜を測定する） が与えられることを特徴とする請求項１記載の方法。
  9. 【請求項９】−中央高さでの幅が、サンプル体積内のサ
    ンプルの幾何学的寸法にほぼ等しいガウス加重関数を選
    択することを特徴とする請求項１記載の方法。
  10. 【請求項１０】サンプル関数により物体を推定し、 推定されたサンプル関数を射影し、 射影された推定サンプル関数の射影を物体の射影による
    検査から得られた測定値と比較し、 そこから物体の新しい推定値を演繹し、 比較結果が満足できるまで上記操作を繰り返す検査中の
    物体の３次元再構成の方法であって、 サンプル関数を射影するために、 ガウス基本関数の空間についてサンプルされた３次元物
    体を分解し、 推定されたサンプル関数の各射影画像要素について、該
    当する射影画像要素に射影される物体の体積要素に対応
    する基本関数の寄与を計算し、各寄与が、体積要素に関
    する基本関数と、該当する画像要素の照射用の支持線を
    表す関数（gj）との積の積分に等しく、 再構成された画像が処理され、 基本支持線を表す関数の代わりにガウス加重関数を用い
    る ことを特徴とする方法。
JP2011670A 1989-01-20 1990-01-20 サンプル３次元物体の例えばｘ線による錐形射影での画像の計算及び処理方法と、該計算方法を利用した検査物体の３次元再構成方法 Expired - Fee Related JP2952314B2 (ja)

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