CN112947079B - 一种板球***的轨迹跟踪控制方法 - Google Patents

一种板球***的轨迹跟踪控制方法 Download PDF

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CN112947079B CN202110154835.2A CN202110154835A CN112947079B CN 112947079 B CN112947079 B CN 112947079B CN 202110154835 A CN202110154835 A CN 202110154835A CN 112947079 B CN112947079 B CN 112947079B
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Abstract

本发明公开了一种板球***的轨迹跟踪控制方法，该方法包括以下步骤：步骤1，建立板球***的非线性数学模型；步骤2，将板球***的轨迹跟踪控制问题描述成一个非线性伺服控制问题；步骤3，基于非线性输出调节理论，采用3阶多项式逼近调节器方程的解，设计3阶状态反馈控制器。本发明基于板球***的非线性数学模型设计反馈控制器，解决了该***在时变参考信号下的轨迹跟踪控制问题，具有较高精度的跟踪性能。

Description

一种板球***的轨迹跟踪控制方法
技术领域
本发明涉及非线性***控制领域，尤其涉及一种板球***的轨迹跟踪控制方法。
背景技术
近几十年来，非线性输出调节理论得到了控制界的广泛关注，其显著的优点在于能够实现轨迹跟踪、干扰抑制和鲁棒性等多种控制目标。常用的控制策略包括反馈控制和内模控制。板球***是一个具有非线性、强耦合、多变量的多输入多输出***，常常被用来检验各种先进控制算法。板球***的轨迹跟踪控制问题可以被描述成一个非线性伺服控制问题。尽管一些文献采用了滑模控制等先进控制算法来解决板球***的轨迹跟踪问题，但往往基于简化的板球***模型，难以达到满意的控制效果。如何基于未简化的非线性数学模型设计反馈控制器实现板球***在时变参考信号下的轨迹跟踪控制有待于进一步研究。
发明内容
基于背景技术存在的技术问题，本发明提出了一种板球***的轨迹跟踪控制方法。针对板球***，基于非线性输出调节理论，采用3阶多项式逼近调节器方程的解，设计3阶状态反馈控制器来实现板球***在时变参考信号下的轨迹跟踪目标。
本发明采用的技术方案是：
一种板球***的轨迹跟踪控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立板球***的非线性数学模型；
步骤2，将板球***的轨迹跟踪控制问题描述成一个非线性伺服控制问题；
步骤3，基于非线性输出调节理论，采用3阶多项式逼近调节器方程的解，设计3阶状态反馈控制器。
进一步地，所述的一种板球***的轨迹跟踪控制方法，其特征在于，步骤1中，假设小球一直与平板接触，板球之间的滑动摩擦力忽略不计，则所述板球***的数学模型描述如下：
Figure BDA0002932979900000021
其中，
Figure BDA0002932979900000022
分别表示小球在平板上x轴与y轴方向的位移，速度，加速度，
Figure BDA0002932979900000023
分别表示平板在x轴与y轴方向的偏转角，偏转角速度，偏转角加速度，m表示小球的质量，(Ip,Ib)分别表示平板与小球的转动惯量，(τx,τy)分别表示施加在平板上的x轴方向的力矩与y轴方向的力矩，g表示重力加速度；
令
Figure BDA0002932979900000024
则***(1)可写为如下形式：
Figure BDA0002932979900000031
其中
Figure BDA0002932979900000032
Figure BDA0002932979900000033
Figure BDA0002932979900000034
η3＝-mx1x5(-2mx4x5x6-mx2x4x5-mx1x4x6-mgx1cosx8)
η4＝-mx1x5(-2mx1x2x4-mx2x5x8-mx1x6x8-mgx1cosx3)
Figure BDA0002932979900000035
进一步地，所述的一种板球***的轨迹跟踪控制方法，步骤2中，将板球***的轨迹跟踪控制问题描述成一个非线性伺服控制问题，其过程如下：
2.1，假设板球***中小球在x轴与y轴方向的位移参考轨迹为两个正弦信号yd1＝F1sin(ω1t+θ1),yd2＝F2sin(ω2t+θ2)，此位移参考轨迹可由如下形式的外部***产生：
Figure BDA0002932979900000036
其中v＝[v1,v2,v3,v4]T，输出为yd1＝v1,yd2＝v3；
令λi(i＝1,2,3,4)为矩阵
Figure BDA0002932979900000037
的特征值,容易验证λi均具有零实部，且外部***(3)的平衡点v＝0是李雅普诺夫稳定的；
2.2，定义跟踪误差为
Figure BDA0002932979900000038
2.3,板球***(2)、外部***(3)和误差函数(4)可以被写为如下的紧凑形式：
Figure BDA0002932979900000041
其中F(x(t),u(t),v(t))描述如下：
Figure BDA0002932979900000042
此时板球***的小球位移轨迹跟踪控制问题已被描述成一个非线性伺服控制问题，其控制目标是在保证闭环***稳定的前提下设计控制器u使得小球位移轨迹跟踪上参考信号且稳态跟踪误差足够小。
进一步地，所述的一种板球***的轨迹跟踪控制方法，其特征在于，步骤3中，基于非线性输出调节理论，采用3阶多项式逼近调节器方程的解，设计3阶状态反馈控制器，过程如下：
3.1，求板球***的雅克比矩阵如下：
Figure BDA0002932979900000043
Figure BDA0002932979900000044
通过计算可以证明：
(1)
Figure BDA0002932979900000051
是可镇定的，并且存在矩阵K,使得
Figure BDA0002932979900000052
的特征值都具有负实部；
(2)
Figure BDA0002932979900000053
其中n为***状态变量的维数8，p为输出维数2，λ∈{λ|λ＝l1λ1+…+l4λ4,l1+…l4＝l,l1…l4＝0,1,2…l}，l＝1,2,3；
由2.1和3.1可知板球***的3阶非线性输出调节问题是可解的，并且因为输入维数等于输出维数，调节器方程的解唯一；
3.2，求板球***调节器方程的解，过程如下：
板球***调节器方程具有如下形式：
Figure BDA0002932979900000054
其中
Figure BDA0002932979900000055
Figure BDA0002932979900000056
η3(v)＝-mx1(v)x5(v)[-2mx4(v)x5(v)x6(v)-mx2(v)x4(v)x5(v)-mx1(v)x4(v)x6(v)-mgx1(v)cos x8(v)]
η4(v)＝-mx1(v)x5(v)[-2mx1(v)x2(v)x4(v)-mx2(v)x5(v)x8(v-mx1(v)x6(v)x8(v)-mgx1(v)cos x3(v)]
Figure BDA0002932979900000061
通过简单的计算可以得到调节器方程的部分解如下：
x1(v)＝v1
x2(v)＝ω1v2
x5(v)＝v3
x6(v)＝ω2v4
因为调节器方程的其他解的精确值不可得，因此采用多项式逼近法来获得其近似解，通过数学计算，可以得到其他的3阶近似解如下：
Figure BDA0002932979900000062
Figure BDA0002932979900000063
Figure BDA0002932979900000064
Figure BDA0002932979900000065
Figure BDA0002932979900000066
Figure BDA0002932979900000067
这里
Figure BDA0002932979900000068
Figure BDA0002932979900000069
Figure BDA00029329799000000610
Figure BDA00029329799000000611
Figure BDA00029329799000000612
Figure BDA00029329799000000613
Figure BDA00029329799000000614
Figure BDA00029329799000000615
d1000＝gm
Figure BDA00029329799000000616
Figure BDA00029329799000000617
Figure BDA00029329799000000618
Figure BDA00029329799000000619
Figure BDA0002932979900000071
Figure BDA0002932979900000072
3.3，设计3阶状态反馈控制器如下：
u＝y(3)(v)+Kx(x-x(3)(v)) (7)
其中
Kx＝[K1,K2]T
Figure BDA0002932979900000073
Figure BDA0002932979900000074
本发明的优点是：
本发明基于板球***的非线性数学模型设计反馈控制器，解决了该***在时变参考信号下的轨迹跟踪控制问题，具有较高精度的跟踪性能。
附图说明
图1为3阶状态反馈控制方法图。
图2为小球x轴与y轴位移轨迹跟踪效果图。
图3为小球实际轨迹图。
图4为1阶和3阶控制器作用下的小球位移跟踪误差对比图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述。显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。
一种板球***的轨迹跟踪控制方法，包括以下步骤：
步骤1，建立板球***的非线性数学模型，过程如下：
假设小球一直与平板接触，板球之间的滑动摩擦力忽略不计，则所述板球***的数学模型描述如下：
Figure BDA0002932979900000081
其中，
Figure BDA0002932979900000082
分别表示小球在平板上x轴与y轴方向的位移，速度，加速度，
Figure BDA0002932979900000083
分别表示平板在x轴与y轴方向的偏转角，偏转角速度，偏转角加速度，m表示小球的质量，(Ip,Ib)分别表示平板与小球的转动惯量，(τx,τy)分别表示施加在平板上的x轴方向的力矩与y轴方向的力矩，g表示重力加速度；
令
Figure BDA0002932979900000084
则***(1)可写为如下形式：
Figure BDA0002932979900000085
其中
Figure BDA0002932979900000086
Figure BDA0002932979900000087
Figure BDA0002932979900000088
η3＝-mx1x5(-2mx4x5x6-mx2x4x5-mx1x4x6-mgx1cos x8)
η4＝-mx1x5(-2mx1x2x4-mx2x5x8-mx1x6x8-mgx1cos x3)
Figure BDA0002932979900000091
步骤2，将板球***的轨迹跟踪控制问题描述成一个非线性伺服控制问题，过程如下：
2.1，假设板球***中小球在x轴与y轴方向的位移参考轨迹为两个正弦信号yd1＝F1sin(ω1t+θ1),yd2＝F2sin(ω2t+θ2)，此位移参考轨迹可由如下形式的外部***产生：
Figure BDA0002932979900000092
其中v＝[v1,v2,v3,v4]T，输出为yd1＝v1,yd2＝v3；
令λi(i＝1,2,3,4)为矩阵
Figure BDA0002932979900000093
的特征值,容易验证λi均具有零实部，且外部***(3)的平衡点v＝0是李雅普诺夫稳定的；
2.2，定义跟踪误差为
Figure BDA0002932979900000094
2.3,板球***(2)、外部***(3)和误差函数(4)可以被写为如下的紧凑形式：
Figure BDA0002932979900000095
其中F(x(t),u(t),v(t))描述如下：
Figure BDA0002932979900000096
此时板球***的小球位移轨迹跟踪控制问题已被描述成一个非线性伺服控制问题，其控制目标是在保证闭环***稳定的前提下设计控制器u使得小球位移轨迹跟踪上参考信号且稳态跟踪误差足够小。
步骤3，基于非线性输出调节理论，采用3阶多项式逼近调节器方程的解，设计3阶状态反馈控制器，过程如下：
3.1，求板球***的雅克比矩阵如下：
Figure BDA0002932979900000101
Figure BDA0002932979900000102
通过计算可以证明：
(1)
Figure BDA0002932979900000103
是可镇定的，并且存在矩阵K,使得
Figure BDA0002932979900000104
的特征值都具有负实部；
(2)
Figure BDA0002932979900000105
其中n为***状态变量的维数8，p为输出维数2，λ∈{λ|λ＝l1λ1+…+l4λ4,l1+…l4＝l,l1…l4＝0,1,2…l}，l＝1,2,3；
由2.1和3.1可知板球***的3阶非线性输出调节问题是可解的，并且因为输入维数等于输出维数，调节器方程的解唯一；
3.2，求板球***调节器方程的解，过程如下：
板球***调节器方程具有如下形式：
Figure BDA0002932979900000111
其中
Figure BDA0002932979900000112
Figure BDA0002932979900000113
η3(v)＝-mx1(v)x5(v)[-2mx4(v)x5(v)x6(v)-mx2(v)x4(v)x5(v-mx1(v)x4(v)x6(v)-mgx1(v)cos x8(v)]
η4(v)＝-mx1(v)x5(v)[-2mx1(v)x2(v)x4(v)-mx2(v)x5(v)x8(v-mx1(v)x6(v)x8(v)-mgx1(v)cos x3(v)]
Figure BDA0002932979900000114
通过简单的计算可以得到调节器方程的部分解如下：
x1(v)＝v1
x2(v)＝ω1v2
x5(v)＝v3
x6(v)＝ω2v4
因为调节器方程的其他解的精确值不可得，因此采用多顶式逼近法来获得其近似解，通过数学计算，可以得到其他的3阶近似解如下：
Figure BDA0002932979900000121
Figure BDA0002932979900000122
Figure BDA0002932979900000123
Figure BDA0002932979900000124
Figure BDA0002932979900000125
Figure BDA0002932979900000126
这里
Figure BDA0002932979900000127
Figure BDA0002932979900000128
Figure BDA0002932979900000129
Figure BDA00029329799000001210
Figure BDA00029329799000001211
Figure BDA00029329799000001212
Figure BDA00029329799000001213
Figure BDA00029329799000001214
d1000＝gm
Figure BDA00029329799000001215
Figure BDA00029329799000001216
Figure BDA00029329799000001217
Figure BDA00029329799000001218
Figure BDA00029329799000001219
Figure BDA00029329799000001220
3.4，设计3阶状态反馈控制器如下：
u＝u(3)(v)+Kx(x-x(3)(v)) (7)
其中
Kx＝[K1,K2]T
Figure BDA00029329799000001221
Figure BDA00029329799000001222
为了验证所提方法的有效性，本发明对3阶状态反馈控制器(7)及形式为u＝u(1)(v)+Kx(x-x(1)(v))的1阶状态反馈控制器的控制效果进行仿真验证，其中
u(1)(v)＝[c1000v1,d1000v1+d0010v3]T
x(1)(v)＝[x1(v),x2(v),a1000v1,a1000ω1v2,x5(v),x6(v),v0010v3,v0010ω2v4]T
仿真验证的具体参数如下：
重力加速度g＝9.8m/s2，小球的质量m＝0.038kg，小球的转动惯量Ib＝4.2×10- 6kg·m2，小球的半径rb＝0.015m，平板的转动惯量Ip＝1.1kg·m2。
状态反馈控制增益矩阵设置为：
Figure BDA0002932979900000131
本实施例跟踪幅值F1＝F2＝Am的正弦参考信号yd1＝Amsin2t和
Figure BDA0002932979900000132
在图2-图4中，Am＝0.5。图2和图3分别为3阶控制器作用下小球x轴与y轴跟踪效果图和小球实际轨迹图，图4为1阶和3阶控制器作用下的小球位移跟踪误差对比图。
同时为了说明阶次越高，控制器精度越高，跟踪效果越好，本实施例列出了Am取不同数值时，小球在1阶和3阶控制器作用下的最大稳态跟踪误差结果，如表1所示：
Figure BDA0002932979900000133
表1 1阶和3阶控制器作用下的最大稳态跟踪误差
从图2-图4的仿真结果可以看出：在3阶状态反馈控制器作用下，小球的位移能够快速地跟踪上参考信号，且稳态跟踪误差非常小；从图4和表1可以看出3阶状态反馈控制器的最大稳态跟踪误差小于1阶，跟踪效果更好。
以上所述，仅为本发明较佳的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术范围内，根据本发明的技术方案及其发明构思加以等同替换或改变，都应涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种板球***的轨迹跟踪控制方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1，建立板球***的非线性数学模型；
步骤2，将板球***的轨迹跟踪控制问题描述成一个非线性伺服控制问题；
步骤3，基于非线性输出调节理论，采用3阶多项式逼近调节器方程的解，设计3阶状态反馈控制器；
步骤1中，假设小球一直与平板接触，板球之间的滑动摩擦力忽略不计，则所述板球***的非线性数学模型描述如下：
Figure FDA0003510586770000011
其中，(x,y),
Figure FDA0003510586770000012
分别表示小球在平板上x轴与y轴方向的位移，速度，加速度，(α,β),
Figure FDA0003510586770000013
分别表示平板在x轴与y轴方向的偏转角，偏转角速度，偏转角加速度，m表示小球的质量，(Ip,Ib)分别表示平板与小球的转动惯量，(τx,τy)分别表示施加在平板上的x轴方向的力矩与y轴方向的力矩，g表示重力加速度；
令
Figure FDA0003510586770000014
u＝[u1,u2]T＝[τx,τy]T
则***(1)可写为如下形式
Figure FDA0003510586770000015
Figure FDA0003510586770000016
Figure FDA0003510586770000021
Figure FDA0003510586770000022
Figure FDA0003510586770000023
Figure FDA0003510586770000024
Figure FDA0003510586770000025
Figure FDA0003510586770000026
其中
Figure FDA0003510586770000027
Figure FDA0003510586770000028
Figure FDA0003510586770000029
η3＝-mx1x5(-2mx4x5x6-mx2x4x5-mx1x4x6-mgx1cosx8)
η4＝-mx1x5(-2mx1x2x4-mx2x5x8-mx1x6x8-mgx1cosx3)
Figure FDA00035105867700000210
步骤2中，将板球***的轨迹跟踪控制问题描述成一个非线性伺服控制问题，其过程如下：
2.1，假设板球***中小球在x轴与y轴方向的位移参考轨迹为两个正弦信号yd1＝F1sin(ω1t+θ1),yd2＝F2sin(ω2t+θ2)，此位移参考轨迹可由如下形式的外部***产生：
Figure FDA00035105867700000211
其中v＝[v1,v2,v3,v4]T，输出为yd1＝v1,yd2＝v3；
令λi(i＝1,2,3,4)为矩阵
Figure FDA00035105867700000212
的特征值,容易验证λi均具有零实部，且外部***(3)的平衡点v＝0是李雅普诺夫稳定的；
2.2，定义跟踪误差为
Figure FDA00035105867700000213
2.3,板球***(2)、外部***(3)和误差函数(4)可以被写为如下的紧凑形式：
Figure FDA0003510586770000031
其中F(x(t),u(t),v(t))描述如下：
Figure FDA0003510586770000032
此时板球***的轨迹跟踪控制问题已被描述成一个非线性伺服控制问题，其控制目标是在保证闭环***稳定的前提下设计控制器u使得小球位移跟踪上参考信号且稳态跟踪误差充分小；
步骤3中，基于非线性输出调节理论，采用3阶多项式逼近调节器方程的解，设计3阶状态反馈控制器，过程如下：
3.1，求板球***的雅克比矩阵如下：
Figure FDA0003510586770000033
Figure FDA0003510586770000034
通过计算可以证明：
(1)
Figure FDA0003510586770000035
是可镇定的，并且存在矩阵K,使得
Figure FDA0003510586770000036
的特征值都具有负实部；
(2)
Figure FDA0003510586770000037
其中n为***状态变量的维数8，p为输出维数2，λ∈{λ|λ＝l1λ1+…+l4λ4,l1+…l4＝l,l1…l4＝0,1,2…l}，l＝1,2,3；
由2.1和3.1可知板球***的3阶非线性输出调节问题是可解的，并且因为输入维数等于输出维数，调节器方程的解唯一；
3.2，求板球***调节器方程的解，过程如下：
板球***调节器方程具有如下形式：
Figure FDA0003510586770000041
其中
Figure FDA0003510586770000042
Figure FDA0003510586770000043
η3(v)＝-mx1(v)x5(v)[-2mx4(v)x5(v)x6(v)-mx2(v)x4(v)x5(v)-mx1(v)x4(v)x6(v)-mgx1(v)cosx8(v)]
η4(v)＝-mx1(v)x5(v)[-2mx1(v)x2(v)x4(v)-mx2(v)x5(v)x8(v)-mx1(v)x6(v)x8(v)-mgx1(v)cosx3(v)]
Figure FDA0003510586770000044
Figure FDA0003510586770000051
通过简单的计算可以得到调节器方程的部分解如下：
x1(v)＝v1
x2(v)＝ω1v2
x5(v)＝v3
x6(v)＝ω2v4
因为调节器方程的其他解的精确值不可得，因此采用多项式逼近法来获得其近似解，通过数学计算，可以得到其他的3阶近似解如下：
Figure FDA0003510586770000052
Figure FDA0003510586770000053
Figure FDA0003510586770000054
Figure FDA0003510586770000055
Figure FDA0003510586770000056
Figure FDA0003510586770000057
这里
Figure FDA0003510586770000058
Figure FDA0003510586770000059
Figure FDA00035105867700000510
Figure FDA00035105867700000511
Figure FDA00035105867700000512
Figure FDA00035105867700000513
Figure FDA00035105867700000514
Figure FDA00035105867700000515
d1000＝gm
Figure FDA00035105867700000516
Figure FDA00035105867700000517
Figure FDA00035105867700000518
Figure FDA00035105867700000519
Figure FDA00035105867700000520
Figure FDA00035105867700000521
3.3，设计3阶状态反馈控制器如下：
u＝u(3)(v)+Kx(x-x(3)(v)) (7)
其中
Kx＝[K1,K2]T
Figure FDA0003510586770000061
Figure FDA0003510586770000062
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