CN108693776B - 一种三自由度Delta并联机器人的鲁棒控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种三自由度Delta并联机器人的鲁棒控制方法，将三自由度Delta并联机器人动力学模型中含有不确定性的项分离出来，分别得到并联机器人***的标称项和不确定项；根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中的标称项建立控制器中的标称补偿环节，用于对标称机器人***进行补偿；选取正定对角矩阵，设计控制器中的P.D.控制环节，用于对初始位置误差进行补偿；根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中与不确定性有关的项构造函数，求解代表***不确定项上界信息的函数，并利用该函数构造不确定性补偿环节，用以补偿***中存在的不确定性；最终，给出鲁棒控制器。解决了传统控制方法往往基于精确的动力学模型，很难达到实际控制目的的技术问题。

Description

一种三自由度Delta并联机器人的鲁棒控制方法

技术领域

本发明属于并联机器人运动控制领域，尤其涉及一种三自由度Delta并联机器人的鲁棒控制方法。

背景技术

随着Delta并联机器人在加工制造、微电子、医疗康复、智能物流等高精尖领域的应用，Delta并联机器人对控制精度和抗干扰能力的要求越来越高。Delta并联机器人为多连杆链式并联结构，其从动臂通常采用轻质材料的细长杆件，在高速工作时关节间隙与细长杆件的弹性变形会引起残余振动，该振动现象将严重影响到运动的精度和稳定性。同时，Delta并联机器人在实际工作中存在着大量的不确定性，如：***变化的动力学参数、非线性关节摩擦力干扰与外部随机载荷的扰动等，这些不确定因素影响着控制精度和工作效率。因此，针对具有不确定性的Delta并联机器人动态控制方法研究成为该领域的研究重点。

目前，针对具有不确定性的Delta并联机器人的动态控制方法主要包括线性控制方法和非线性控制方法。线性控制方法如PID控制、计算力矩控制等通过将非线性的***模型线性化后，再实现对机器人的控制。这些方法依赖于***精确的动力学模型和确定的工况，忽略了***的不确定性，随着控制过程的日趋复杂，这些线性控制方法就显示出了弊端，单纯的线性控制方法往往很难达到控制要求，鲁棒性差。因此，近年来非线性控制方法成为该领域的研究重点。针对Delta并联机器人***的非线性控制方法包括变结构控制方法、线性反馈控制方法和自适应控制方法等，这些控制方法或多或少的存在着一些问题，如滑膜变结构控制方法中，“结构”切换的过程中存在不连续的开关特性，容易引起不可消除的抖振现象，线性反馈控制方法中由于不完全了解Delta并联机器人的动力学模型，其对线性***的补偿往往是不彻底的。而神经网络、模糊控制等智能控制方法目前在Delta并联机器人运动控制领域仍处于初步阶段，虽然智能控制理论在Delta并联机器人工程应用中取得了显著的进展，但仍存在一些问题，如神经网路的隐含层数目和神经元数的选择，模糊控制中存在的高频振动现象、单一的模糊控制很难建立完整的模糊控制规则等，需要对这些问题进行进一步的探索。

美国学者Leitmann在***优化、博弈论等理论的基础上提出了一致有界、一致最终有界的概念，针对***的非线性与不确定性问题，提出了Min-Max Lyapunov控制方法，又称Leitmann方法。Leitmann分别讨论了在无结构匹配条件下，存在状态变量时延现象的非确定性***的鲁棒性和存在状态时延现象的线性***稳定性，结合分散控制理论对含有不确定性的非线性耦合***控制进行分析，为具有强耦合和非线性的Delta并联机器人动态控制方法研究提供了新思路。因此，对具有不确定性的三自由度Delta并联机器人动态控制策略进行研究一直是本领域技术人员所关注的热点。

发明内容

针对上述现有技术存在的缺陷或不足，本发明的目的在于，基于Leitmann方法提供一种三自由度Delta并联机器人的鲁棒控制方法，以解决传统控制方法往往基于精确的动力学模型，很难达到实际控制目的的问题。

为了实现上述任务，本发明采用如下技术解决方案予以实现：

一种三自由度Delta并联机器人的鲁棒控制方法，其特征在于，按照以下步骤进行：

步骤1，将三自由度Delta并联机器人动力学模型中含有不确定性的项分离出来，分别得到并联机器人***的标称项和不确定项；

步骤2，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中的标称项建立控制器中的标称补偿环节，用于对标称机器人***进行补偿；

步骤3，选取正定对角矩阵，设计控制器中的P.D.控制环节，用于对初始位置误差进行补偿；

步骤4，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中与不确定性有关的项构造函数，求解代表***不确定项上界信息的函数，并利用该函数构造不确定性补偿环节，用于对***中的不确定性进行补偿；

步骤5，最终，给出鲁棒控制器。

本发明的三自由度Delta并联机器人的鲁棒控制方法，带来的有益效果是，在所设计的鲁棒控制方法中，若机器人***中不存在初始位置误差和不确定性时，控制器中单独的标称补偿环节可使并联机器人的轨迹跟踪误差达到一致渐近稳定性的性能。若机器人***中仅存在初始位置误差时，***中的不确定性因素为零，控制器中标称补偿环节加P.D.控制环节即可使机器人***满足控制性能指标。若机器人***中既存在初始位置误差又存在不确定性时，加上控制器中的不确定性补偿环节可补偿***中的不确定性，使***满足一致有界和一致最终有界性能指标。

附图说明

图1为DELTA机器人的空间结构示意简图；

图2为DELTA机器人的鲁棒控制器设计示意简图；

图3为Delta并联机器人关节角位移仿真结果图；

图4为Delta并联机器人关节角速度仿真结果图；

图5为Delta并联机器人控制输入力矩仿真结果图；

图6为Delta并联机器人轨迹跟踪误差e仿真结果图；

图7为Delta并联机器人轨迹跟踪误差

仿真结果图；

图8为Delta并联机器人运行轨迹仿真结果图；

以下结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步的清楚、完整地描述。

具体实施方式

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些较优实施例，本发明不限于这些实施例。

首先进行机器人介绍：本实施例采用一种十分常见的少自由度并联机器人——三自由度Delta并联机器人作为研究对象进行分析。

图1所示的是三自由度Delta并联机器人在工作平面内的结构示意简图，以及在工作空间内建立的直角坐标系。

其中，O-A₁A₂A₃为静平台，O′-C₁C₂C₃为动平台，静平台与动平台均为等边三角形。O-XYZ为静平台系(基坐标系)，O′-x′y′z′为动平台系，O、O′分别位于静、动平台系几何中心，Z、z′轴向上方向设为正方向。A₁、A₂、A₃位于电机轴与主动臂轴线的交点，称之为并联机器人的主动关节。B₁、B₂、B₃位于主动臂轴线和从动臂轴线的交点，C₁、C₂、C₃位于从动臂轴线和动平台的交点。

定义机器人主动臂的长度A_iB_i为l_a，从动臂的长度B_iC_i为l_b，动、静平台的外接圆半径分别为r、R。θ₁、θ₂、θ₃为主动臂对静平台的张角，q₁、q₂、q₃为主动关节转角。

如图2所示，本实施例给出的一种三自由度Delta并联机器人的鲁棒控制方法，该方法包括的步骤是：

步骤1，将三自由度Delta并联机器人动力学模型中含有不确定性的项分离出来，分别得到并联机器人***的标称项

和

和不确定项ΔM、ΔC、ΔG和ΔF。

步骤2，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中的标称项建立控制器中的标称补偿环节P₁。

步骤3，选取正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]_3×3，K_v＝diag[k_vi]_3×3，设计控制器中的P.D.控制环节P₂。

步骤4，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中与不确定性有关的项构造函数φ，求解代表***不确定项上界信息的函数ρ，并利用函数ρ构造不确定性补偿环节P₃。

步骤5，最终，给出鲁棒控制器τ＝P₁+P₂+P₃。

以下是各个步骤的详细实施内容：

步骤1：

具有不确定性的三自由度Delta并联机器人动力学模型表示为：

其中，q∈R³为主动关节角度向量，

为主动关节角速度向量，

为主动关节角加速度向量。σ∈Σ∈R^p为机器人***中存在的不确定参数向量，Σ∈R^p为不确定参数的紧集，代表着不确定性的界。M(q,σ,t)为机器人***惯性矩阵，

为***的科氏力/离心力项，

为斜对称矩阵，G(q,σ,t)为***的重力项，

为***所受的外部干扰，τ(t)为***输入力矩。M(·)、C(·)、G(·)与F(·)均连续或关于时间t勒贝格可测。

为了后续控制器的设计，将式(3.3)中的M(·)、C(·)、G(·)与F(·)分解为：

其中，

和

称为Delta并联机器人***的标称项，ΔM(q,σ,t)、

ΔG(q,σ,t)和

称为Delta并联机器人***的不确定项。

当Delta并联机器人在工作过程中不存在不确定因素时，

为了简化推导过程，在不产生歧义的情况，下文部分公式中的自变量会省略。

其中，惯性矩阵满足：

假设1：

惯性矩阵M(q,σ,t)为正定矩阵，即对任意的q∈R³，存在一个常数σ>0使得：

M(q,σ,t)>σI (6)

假设2：

对任意的q∈R³，总存在常数γ_j，j＝0,1,2，且γ₀>0，γ_1,2≥0，使得：‖M(q,σ,t)‖<γ₀+γ₁‖q‖+γ₂‖q‖² (7)

对于由转动副和滑动副连接的串、并联机器人，其惯性矩阵M(q,σ,t)仅与质量惯性参数、滑动关节和转动关节的位置相关。因此，总存在一组常数γ_j,令串、并联机器人质量惯性矩阵的欧式范数满足式(7)。

步骤2：

设三自由度Delta并联机器人的期望轨迹为q^d、

和

其中q^d:[t₀,∞)→R³表示期望位置，且q^d为C²连续，

为期望速度，

为期望加速度。

定义***的轨迹跟踪误差为：

e：＝q-q^d (8)

因此，***的速度跟踪误差与加速度跟踪误差可以表示为：

则：

步骤3：

其中，正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]_3×3且k_pi>0，K_v＝diag[k_vi]_3×3且k_vi>0，i＝1,2,3。

步骤4：

假设3：

存在一个正定函数ρ:R³×R³×R→R₊，正定矩阵S＝diag[s_i]_3×3，s_i>0，k_s＝λ_min(S)，i＝1,2,3，使得：

其中：

在假设3中，函数φ代表三自由度Delta并联机器人动力学模型中所有与不确定性有关的项，其上界信息可用函数ρ表示。如果***不存在不确定因素时，φ≡0。

式(15)中：

在式(17)中，ε>0。

步骤5：

考虑跟踪误差向量为

现给出一种针对三自由度Delta并联机器人的鲁棒轨迹跟踪控制器：

其中：

式(21)中：

在式(22)中，ε>0,正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]_3×3且k_pi>0，K_v＝diag[k_vi]_3×3且k_vi>0，i＝1,2,3。

在所设计的鲁棒轨迹跟踪控制器的式(18)中，若机器人***中不存在初始位置误差和不确定性时，令τ＝P₁可使并联机器人的轨迹跟踪误差达到一致渐近稳定性的性能。

若机器人***中仅存在初始位置误差时，ΔM、ΔC、ΔG和ΔF均为零，可以选取函数ρ＝0，使得

此时τ＝P₁+P₂，能使t→∞时，e→0。

若机器人***中既存在初始位置误差又存在不确定性时，令τ＝P₁+P₂+P₃，可使t→∞时，e满足一致有界和一致最终有界性能指标。

一、稳定性证明

先给出稳定性证明结论：

如果三自由度Delta并联机器人动力学模型(1)满足假设1-3，控制器设计(18)可以使轨迹跟踪误差向量

满足：

(1)一致有界性：对于任意给定的r>0，且||e(t₀)||<r，当t>t₀时，存在一个正实数d(r):0<d(r)<∞，使得||e(t)||<d(r)成立。

(2)一致最终有界性：对于任意给定r>0，

且||e(t₀)||<r，当

时，

成立，其中

以下给出证明过程如下：

构造李雅普诺夫函数为：

根据假设1，有：

其中：

式(26)中，参数k_v、s_i、k_p和σ均为大于零的实数，顺序主子式均大于零，则ψ_i为正定矩阵。令

(即S>0)：

由式(25)和式(27)可知V为正定矩阵。

由假设2：

对于不等式右边第一项，将q：＝e+q^d带入式(28)：

‖q‖＝||e+q^d||≤‖e‖+max_t||q^d|| (29)

‖q‖²≤‖e‖²+2‖e‖max_t||q^d||+(max_t||q^d||)² (30)

同时：

其中，

对于不等式右边第二项：

因此存在常数

使得：

其中：

式(33)中的

为严格的正实数，则对所有的e，所选取的李雅普诺夫函数为单调递减函数。因此，根据式(27)和式(33)，构造的V为一个有效的李雅普诺夫函数。

李雅普诺夫函数V的导数为：

将式(32)代入式(37)中：

将式(22)与式(23)带入式(38)，即当‖μ‖>ε时：

当‖μ‖≤ε时，

因此，根据假设3，式(39)与式(40)可知：

将式(41)带入式(38)：

其中，λ＝min{K_v,SK_p}。对于式(38)，λ与ε均为有界的正常数，因此当||e||²足够大时，李雅普诺夫函数的导数为负值，即：

根据文献(Chen Y..On The Deterministic Performance of UncertainDynamical Systems[J].International Journal of Control，1986，43(5)：1557-1579)，当李雅普诺夫函数的导数满足式(43)时，控制器的式(18)能够使轨迹跟踪误差向量e满足一致有界，即对于任意给定的r>0，且||e(t₀)||<r，当t>t₀时，存在正实数d(r)如式(44)所示，使得||e(t₀)||<d(r)成立。

其中，R＝[ε/4λ]^1/2。同时，跟踪误差向量e也满足一致最终有界。即对于任意给定r>0，

且

当

时，

成立。

其中：

二、动力学模型仿真

在MATLAB软件中，利用ode15i函数对三自由度Delta并联机器人的动力学模型与设计的控制器进行仿真。

假设并联机器人受到的不确定因素为动平台的质量参数

与外部负载

其中，

和

为标称项，Δm_O′、ΔF₁、ΔF₂和ΔF₃为随时间变化的不确定项。不确定参数向量定义为：σ＝[Δm_O′,ΔF₁,ΔF₂,ΔF₃]^T。

根据假设1，将M(·)、C(·)、G(·)、F(·)中的不确定项分离出来构造函数

由式(48)，求解函数正定函数ρ：

其中，Σ_m和Σ_F代表不确定参数对机器人***的最大影响程度。

设Delta并联机器人工作平台需要跟踪的目标轨迹为：

三自由度Delta并联机器人的结构参数如下：

主动臂的长度l_a＝200mm，静平台的外接圆半径R＝180mm，动平台的外接圆半径r＝100mm，机器人的质量参数如下：主动臂质量m_a＝1.193kg，从动臂质量m_b＝1.178kg，动平台质量m_O′＝4.3225kg。

选取控制器的控制参数如下：

K_v＝diag[1,1,1]，K_p＝diag[1,1,1]，S＝diag[8,8,8],ε＝0.1。

选取标称参数如下：

选取不确定参数如下：

Δ_m＝Δ_f＝0.5。∑_m＝0.5，∑_F＝0.5。设定仿真的初始值为：q₀＝[0.5434 0.5434 0.9639]^T,

仿真结果如图3-8所示。

其中，图3与图4为Delta并联机器人的主动关节角位移与关节角速度的仿真结果，图5为三个主动关节角上的输入力矩仿真结果。

当三自由度Delta并联机器人***受到初始位置误差与不确定性影响时，分别令τ＝P₁、τ＝P₁+P₂、τ＝P₁+P₂+P₃为控制输入对比控制效果，仿真结果如图6-图8所示。

图6为在三种控制输入下***轨迹跟踪误差e的仿真结果，当τ＝P₁为控制输入时，轨迹跟踪误差从0.01附近经过5.5s发散到0.2m，在5s之后误差持续增大，在仿真时间内没有收敛。当τ＝P₁+P₂为控制输入时，轨迹跟踪误差从0.01m附近经过3s后减小至0.05m，并随着时间的增加，误差一直维持在0.05m附近，不能收敛到0m。当τ＝P₁+P₂+P₃为控制输入时，***从0.01m附近经过0.4s后进入并保持在0m附近范围内。

图7为在三种控制输入下***轨迹跟踪误差

的仿真结果，当τ＝P₁为控制输入时，轨迹跟踪误差

从0.3m/s附近经过5.5s发散至0.4m/s，且

在有限的时间内不能收敛。当τ＝P₁+P₂为控制输入时，轨迹跟踪误差

从0.3m/s经过1.5s减小至0.1m/s，随着仿真时间的增加，误差

曲线有上升的趋势。当τ＝P₁+P₂+P₃为控制输入时，轨迹跟踪误差

从0.3m/s经过0.4s后减小到0m/s附近。

图8为三种控制输入下Delta并联机器人末端执行器运行的轨迹仿真结果，当τ＝P₁与τ＝P₁+P₂为控制输入时，均不能控制末端执行器轨迹跟踪目标轨迹X^d，但当τ＝P₁+P₂+P₃为控制输入时，末端执行器可以迅速的从初始偏差位置运动到目标轨迹附近，并基本按照目标轨迹运行。

仿真结果表明：在***具有初始位置误差和不确定性时，所提出的轨迹跟踪控制器可以控制末端执行器轨迹跟踪目标轨迹，同时使轨迹跟踪误差满足一致有界和一致最终有界。

Claims (1)

1.一种三自由度Delta并联机器人的鲁棒控制方法，其特征在于，按照以下步骤进行：

步骤1，将三自由度Delta并联机器人动力学模型中含有不确定性的项分离出来，分别得到并联机器人***的标称项和不确定项；

所述三自由度Delta并联机器人动力学模型为式(1)；

其中，q∈R³为主动关节角度向量，

为主动关节角速度向量，

为主动关节角加速度向量，σ∈∑∈R^p为机器人***中存在的不确定参数向量，∑∈R^p为不确定参数的紧集，代表着不确定性的界，M(q，σ，t)为机器人***惯性矩阵，

为***的科氏力/离心力项，G(q，σ，t)为***的重力项，

为***所受的外部干扰，τ(t)为***输入力矩，M(·)、C(·)、G(·)与F(·)均连续或关于时间t勒贝格可测；

为了后续控制器的设计，将所述M(·)、C(·)、G(·)与F(·)分解为：

其中，

和

称为Delta并联机器人***的标称项，ΔM(q，σ，t)、

ΔG(q，σ，t)和

称为Delta并联机器人***的不确定项；

当Delta并联机器人在工作过程中不存在不确定因素时，

步骤2，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中的标称项建立控制器中的标称补偿环节，用于对标称机器人***进行补偿；

三自由度Delta并联机器人的期望轨迹为q^d、

和

其中，q^d：[t₀，∞)→R³表示期望位置，且q^d为C²连续，

为期望速度，

为期望加速度；

定义***的轨迹跟踪误差为式(8)：

e：＝q-q^d (8)

因此，***的速度跟踪误差与加速度跟踪误差可以表示为式(9)和式(10)：

则：

步骤3，选取正定对角矩阵，设计控制器中的P.D.控制环节，用于对初始位置误差进行补偿；

步骤4，根据三自由度Delta并联机器人动力学模型中与不确定性有关的项构造函数，求解代表***不确定项上界信息的函数，并利用该函数构造不确定性补偿环节，用于对***中的不确定性进行补偿；

存在一个正定函数ρ：R³×R³×R→R₊，正定矩阵S＝diag[s_i]_3×3，s_i＞0，k_s＝λ_min(S)，i＝1，2，3，使得：

其中：

其中，φ代表三自由度Delta并联机器人动力学模型中所有与不确定性有关的项，其上界信息可用函数ρ表示，若***不存在不确定因素时，φ≡0；

步骤5，最终，给出鲁棒控制器为式(18)；

其中：

式(21)中：

在式(22)中，ε＞0，正定对角矩阵K_p＝diag[k_pi]₃×₃且k_pi＞0，Kv＝diag[k_vi]_3×3且k_vi＞0，i＝1，2，3；

其中，在式(18)中，若机器人***中不存在初始位置误差和不确定性时，令τ＝P₁可使并联机器人的轨迹跟踪误差达到一致渐近稳定性的性能；

若机器人***中仅存在初始位置误差时，ΔM、ΔC、ΔG和ΔF均为零，选取函数ρ＝0，使得

此时τ＝P₁+P₂，能使t→∞时，e→0；

若机器人***中既存在初始位置误差又存在不确定性时，令τ＝P₁+P₂+P₃，使t→∞时，e满足一致有界和一致最终有界性能指标。

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