CN107942684B - 基于分数阶自适应非奇异终端滑模的机械臂轨迹跟踪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于分数阶自适应非奇异终端滑模的机械臂轨迹跟踪方法，通过设计对不确定上界的自适应率和分数阶自适应非奇异终端滑模的切换控制，使***状态更快的收敛到滑模面上，再通过非奇异终端滑模面的滑模特性，使***状态在有限时间内更快的收敛到平衡点，即跟踪误差收敛到0，从而实现对期望关节角轨迹的跟踪。

Description

基于分数阶自适应非奇异终端滑模的机械臂轨迹跟踪方法

技术领域

本发明属于六自由度机器臂轨迹跟踪技术领域，更为具体地讲，涉及一种基于分数阶自适应非奇异终端滑模的机械臂轨迹跟踪方法。

背景技术

随着机器人工业水平的不断提高，机械臂已被广泛应用于自动化领域，如航空航天等大型设备制造检测，医疗手术，工业生产等。但是机械臂的绝对定位精度不能满足一些高精度的自动化生产需求，且机械臂是一个具有非线性、不确定性、未完全建模、交叉耦合等特征的复杂***，对其进行精确的轨迹跟踪是非常困难的。为了满足更高准确度的轨迹跟踪要求，就必须设计更加精确的控制器以及更具有其适用性的控制方法。

目前被广泛用于非线性复杂***的滑模控制方法，由于其具有对外界干扰以及参数变化的完全鲁棒性，在机械臂***中的应用也取得很好的效果。但由于在控制过程中频繁切换控制结构，使控制器的输出出现较大的抖振现象，导致***不能达到理想滑动模态。基于抖振问题，已有很多先进的方法被提出，例如，边界层法、滑模区域法、趋近率法等，其均能从一定程度上克服或减少抖振，但均以花费更长的响应时间或是跟踪误差较大为代价的。对于高精度要求的多连杆机械臂***中，响应时间的长短，跟踪误差的大小均是其不可忽略的性能指标。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术的不足，提供一种基于分数阶自适应非奇异终端滑模的机械臂轨迹跟踪方法，在切换控制中设计分数阶指数趋近的自适应滑模控制，使复杂任务以及高精度要求的机械操作中，能够精确地进行轨迹跟踪闭环控制，满足实际情况和工业需求。

为实现上述发明目的，本发明一种基于分数阶自适应非奇异终端滑模的机械臂轨迹跟踪方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、设期望的六自由度机械臂末端位姿信息为P，P∈R^4×4为齐次变换矩阵，由机械臂逆运动学将末端位姿信息P解算为各个关节的期望关节角q_d，q_d∈R⁶且q_d＝[q_d1,q_d2,...,q_d6]^T，R⁶表示6维的实数；

(2)、建立六自由度机械臂的动力学模型：

其中，

分别代表六个关节角的角度，角速度和角加速度，M(q)＝M₀(q)+ΔM(q)∈R^6×6为正定惯性矩阵，

为科里奥利矩阵，G(q)＝G₀(q)+ΔG(q)∈R⁶为重力矩阵，

为标称值，ΔM(q),

ΔG(q)为***误差项，τ,τ_d∈R⁶分别为驱动力矩和干扰力矩；

设六自由度机械臂的动力学模型的实际关节角输出为q，则关节角的角度跟踪误差为：e＝q-q_d；

比较角度跟踪误差e与预设阈值ζ的大小，如果e＜ζ，则运行结束，否则进入步骤(3)；

(3)、根据角度跟踪误差e设计线性滑模面s和非奇异终端滑模面σ

(3.1)、线性滑模面s为：

其中，

为e的一阶导，β＝diag(β₁₁,β₁₂,...,β_1n)，diag(·)表示对角矩阵，β₁₁,β₁₂,...,β_1n为对角矩阵中的元素；

(3.2)、非奇异终端滑模面σ为：

其中，γ＝diag(γ₁₁,γ₁₂,...,γ_1n)，0＜q＜p，且

为s的一阶导；

(4)、根据线性滑模面s和非奇异终端滑模面σ设计等效控制器u₀

对非奇异终端滑模面σ求一阶导，得：

令

得到等效控制器u₀：

其中，

为u₀的一阶导；

(5)、设计基于分数阶符号函数的指数趋近的切换控制器u₁

其中，

为u₁的一阶导，

为正定对角阵，||·||为欧几里得范数，sgn(·)为符号函数，

为分数阶阶次为a的符号函数，且有0≤a＜1，

为自适应参数，实现对***误差和外界干扰上界的估计；

(6)、将等效控制器和切换控制器相加并积分，得到最终的控制器τ；

(7)、在控制器τ的控制下，六自由度机械臂的动力学模型输出实际的关节角q^*，再利用q^*替代假设的q，并返回步骤(2)，完成机械臂轨迹跟踪。

本发明的发明目的是这样实现的：

本发明一种基于分数阶自适应非奇异终端滑模的机械臂轨迹跟踪方法，通过设计对不确定上界的自适应率和分数阶自适应非奇异终端滑模的切换控制，使***状态更快的收敛到滑模面上，再通过非奇异终端滑模面的滑模特性，使***状态在有限时间内更快的收敛到平衡点，即跟踪误差收敛到0，从而实现对期望关节角轨迹的跟踪。

同时，本发明一种基于分数阶自适应非奇异终端滑模的机械臂轨迹跟踪方法还具有以下有益效果：

(1)、针对抖振现象，本发明采用积分器对控制器的输出进行积分，将不连续的控制信号转化为连续信号，实现实际控制信号的平滑和无振动；

(2)、本发明对滑模控制算法进行了改进，设计一个分数阶滑模控制算法，在切换控制中引入了分数阶指数趋近律，加快了向滑模面的趋近速度，提高了效率；其次，引入分数阶次扩大了***的性能调节范围，具有更好的适应性；

(3)、本发明针对被控机械臂***的建模失配和外界干扰，引入了自适应法则，对***的不确定性上界进行估计，从而有效解决了在没有先验知识的前提下，对不确定性的抑制问题，提高了***的鲁棒性；

(4)、本发明采用了非奇异终端滑模面，能够有效避免滑模的奇异问题，而且能够保证***状态可以在有限时间内快速的收敛到平衡点，即跟踪误差为0，实现机械臂关节角的精确跟踪。

附图说明

图1是本发明基于分数阶自适应非奇异终端滑模的机械臂轨迹跟踪方法流程图；

图2是机械臂六个关节角的跟踪曲线(分数阶次a＝0.3)；

图3是机械臂六个关节角的跟踪误差曲线(分数阶次a＝0.3)；

图4是自适应参数随时间的变化曲线(分数阶次a＝0.3)；

图5是机械臂六个关节处的实际控制值(分数阶次a＝0.3)；

图6是控制方法在不同分数阶阶次下滑模变量随时间的变化曲线(分数阶次a＝0.3和0.5)；

图7是控制方法在不同分数阶阶次下控制器的输出曲线(分数阶次a＝0.3和0.5)。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式进行描述，以便本领域的技术人员更好地理解本发明。需要特别提醒注意的是，在以下的描述中，当已知功能和设计的详细描述也许会淡化本发明的主要内容时，这些描述在这里将被忽略。

实施例

图1是本发明基于分数阶自适应非奇异终端滑模的机械臂轨迹跟踪方法流程图。

在本实施例中，将本发明应用于六自由度机械臂的控制，即对机械臂的六个关节角进行轨迹跟踪。下面结合图1，对本发明一种基于分数阶自适应非奇异终端滑模的机械臂轨迹跟踪方法进行详细说明，具体包括以下步骤：

S1、针对具体的任务需求，设期望的六自由度机械臂末端位姿序列信息为P，P∈R^{4 ×4}为齐次变换矩阵，由机械臂逆运动学将末端位姿信息P解算为各个关节的期望关节角q_d，q_d∈R⁶且q_d＝[q_d1,q_d2,...,q_d6]^T，R⁶表示6维的实数；

S2、建立六自由度机械臂的动力学模型：

其中，

分别代表六个关节角的角度，角速度和角加速度，M(q)＝M₀(q)+ΔM(q)∈R^6×6为正定惯性矩阵，

为科里奥利矩阵，G(q)＝G₀(q)+ΔG(q)∈R⁶为重力矩阵，M₀(q),

G₀(q)为标称值，ΔM(q),

ΔG(q)为***误差项，τ,τ_d∈R⁶分别为驱动力矩和干扰力矩；

设六自由度机械臂的动力学模型的实际关节角输出为q，则关节角的角度跟踪误差为：e＝q-q_d；

比较角度跟踪误差e与预设阈值ζ的大小，如果e＜ζ，则运行结束，否则进入步骤S3；

S3、根据角度跟踪误差e设计线性滑模面s和非奇异终端滑模面σ

S3.1、线性滑模面s为：

其中，

为e的一阶导，β＝diag(β₁₁,β₁₂,...,β_1n)，diag(·)表示对角矩阵，β₁₁,β₁₂,...,β_1n为对角矩阵中的元素；

S3.2、非奇异终端滑模面σ为：

其中，γ＝diag(γ₁₁,γ₁₂,...,γ_1n)，0＜q＜p，且

为s的一阶导；

在本实施例中，采用了非奇异终端滑模面，能够有效避免滑模的奇异问题，而且能够保证***状态可以在有限时间内快速的收敛到平衡点，即跟踪误差为0，实现机械臂关节角的精确跟踪。

S4、根据线性滑模面s和非奇异终端滑模面σ设计等效控制器u₀

对非奇异终端滑模面σ求一阶导，得：

令

得到等效控制器u₀：

其中，

为u₀的一阶导；

S5、设计基于分数阶符号函数的指数趋近律的切换控制器u₁

其中，

为u₁的一阶导，

为正定对角阵，||·||为欧几里得范数，sgn(·)为符号函数，

为分数阶阶次为a的符号函数，且有0≤a＜1，

为自适应参数，实现对***误差和外界干扰上界的估计；

切换控制器分为3个部分，第一项用于克服建模失配和外界干扰对控制的影响，从而有效解决了在没有先验知识的前提下，对不确定性的抑制问题，提高了***的鲁棒性；第二项和第三项为滑模面的指数趋近律，其中第二项可使***状态从初始态向滑模面运动，第三项可以实现***状态从初始态到滑模面的指数趋近。

这里我们针对传统的指数趋近律进行了扩展，即将第二项由整数阶扩展到分数阶，且该分数阶符号函数具有以下性质：

通过调整不同的分数阶阶次a，实现对切换控制趋近率的不同的控制，提升切换控制的控制效果。

下面我们对自适应参数

的确定方法进行说明，具体为：

考虑到在实际工程中，滑模面σ可能在有限时间里不能精确为零以及自适应参数

可能增加到无界的情况，利用死区技术对非奇异终端滑模面的范数||σ||＝0的[0,+ε)邻域进行处理，处理后的自适应参数为：

其中，ρ₀，ρ₁，ρ₂为正的可调参数，ε为一个很小的正常数。

这样通过在切换控制中引入了分数阶指数趋近律，加快了误差的收敛速度，提高了效率；其次，引入分数阶次扩大了***的性能调节范围，具有更好的适应性。

S6、将等效控制器和切换控制器相加并积分，得到最终的控制器τ；

在本实施例中，采用积分器对控制器的输出进行积分，将不连续的控制信号转化为连续信号，实现实际控制信号的平滑和无振动。

S7、在控制器τ的控制下，六自由度机械臂的动力学模型输出实际的关节角q^*，再利用q^*替代假设的q，并返回步骤S2，经过闭环反馈，最终跟踪到期望的关节角轨迹。

实例

在本实例中，我们首先对本发明所提出的分数阶自适应终端滑模控制器的可行性进行验证，然后对不同的分数阶次进行对比分析，下面对仿真中用到的参数进行说明。

设六自由度机械臂***内部有十二个状态x∈R¹²且

期望的各关节角的轨迹为：

q_d1＝3.25-(7/5)e^-t+(7/20)e^-4t，q_d2＝1.25+e^-t-(1/4)e^-4t，q_d3＝1.25-(6/5)e^-t+(6/20)e-^4t，q_d4＝3.25-e-^t+(5/20)e^-4t，q_d5＝0.25-(4/5)e^-t+(4/20)e^-4t，q_d6＝4.25-(3/5)e^-t+(3/20)e^-4t。

机械臂***的初始状态选择为：

q_i(0)＝0.3491,(i＝1,2,4,5,6),q₃(0)＝3，

外部干扰项为：τ_di＝0.02sin(t),i＝1,3,4,5,6，τ_d2＝0.1cos(2t)。

针对本发明所提出的控制器，参数选取为：

β＝diag(30,30,30,30,30,30)，γ＝diag(0.002,0.002,0.002,0.002,0.002,0.002)，p＝15,q＝13。自适应参数：ρ₀＝3,ρ₁＝4,ρ₂＝6，ε＝0.002。初始值

切换控制中参数的选取：

将上述参数加到所提出的控制器及仿真模型中，得到下面的仿真结果。这里切换控制中分数阶的阶次选取a＝0.3，并且进行控制方法可行性的验证。

图2所示为机械臂六个关节角的跟踪曲线，其中q_di,(i＝1,...,6)为期望的关节角轨迹，q_i,(i＝1,...,6)为实际跟踪曲线。在外界干扰存在的情况下，由图中可以看出提出的控制方法可以使实际关节角有效的跟踪到期望值。

图3所示为机械臂六个关节角的跟踪误差，且该误差都能在有限时间内收敛到0，从而体现了该控制方法的有效性，即使***状态在有限时间内收敛到***的平衡点。

图4所示为自适应参数随时间的变化曲线，由图可以看出，该自适应参数在一段时间后不再增长，体现了滑模变量到达滑模面附近时死区技术的作用，同时该自适应法则可以对***的不确定性上界进行估计，从而有效抑制了外界干扰和建模失配对控制性能的影响。

图5所示为六自由度机械臂各个关节处的控制值τ，每个分量记为τ_i,i＝1,...,6。由图中可以看出，6个控制分量在经过积分作用后，有效减小了由切换控制带来的抖震问题，提高了控制的性能。

接下来针对本发明所提出的控制方法，进行不同分数阶次a＝0.3和0.5的对比分析。保持上述控制方法和机械臂模型参数不变，只修改切换控制中分数阶的阶次，得到如下的仿真结果。

图6所示为不同分数阶阶次下滑模变量随时间的变化曲线(以第一个分量σ₁为例)，由图中可以看出在控制器选择不同的分数阶阶次时，该滑模面的的抖动程度有明显不同，且随着分数阶阶次的减小，滑模面的抖动会变小。

图7所示为不同分数阶阶次下控制器的输出曲线(以第一关节的控制量τ₁为例)，由图中可以看出随着分数阶阶次的减小，由切换控制带来的控制器抖震会变小。实际工程中可灵活选取分数阶阶次已达到最好的控制效果，从而体现了本发明控制方法不同分数阶阶次的适应性。

尽管上面对本发明说明性的具体实施方式进行了描述，以便于本技术领域的技术人员理解本发明，但应该清楚，本发明不限于具体实施方式的范围，对本技术领域的普通技术人员来讲，只要各种变化在所附的权利要求限定和确定的本发明的精神和范围内，这些变化是显而易见的，一切利用本发明构思的发明创造均在保护之列。

Claims (1)

1.一种基于分数阶自适应非奇异终端滑模的机械臂轨迹跟踪方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)、设期望的六自由度机械臂末端位姿信息为P，P∈R^4×4为齐次变换矩阵，由机械臂逆运动学将末端位姿信息P解算为各个关节的期望关节角q_d，q_d∈R⁶且q_d＝[q_d1,q_d2,…,q_d6]^T，R⁶表示6维的实数；

(2)、建立六自由度机械臂的动力学模型：

其中，

分别代表六个关节角的角度，角速度和角加速度，M(q)＝M₀(q)+ΔM(q)∈R^6×6为正定惯性矩阵，

为科里奥利矩阵，G(q)＝G₀(q)+ΔG(q)∈R⁶为重力矩阵，M₀(q),

G₀(q)为标称值，ΔM(q),

ΔG(q)为***误差项，τ,τ_d∈R⁶分别为驱动力矩和干扰力矩；

设六自由度机械臂的动力学模型的实际关节角输出为q，则关节角的角度跟踪误差为：e＝q-q_d；

比较角度跟踪误差e与预设阈值ζ的大小，如果e＜ζ，则运行结束，否则进入步骤(3)；

(3)、根据角度跟踪误差e设计线性滑模面s和非奇异终端滑模面σ

(3.1)、线性滑模面s为：

其中，

为e的一阶导，β＝diag(β₁₁,β₁₂,…,β_1n)，diag(·)表示对角矩阵，β₁₁,β₁₂,...,β_1n为对角矩阵中的元素；

(3.2)、非奇异终端滑模面σ为：

其中，γ＝diag(γ₁₁,γ₁₂,...,γ_1n)，0＜q＜p，且

为s的一阶导；

(4)、根据线性滑模面s和非奇异终端滑模面σ设计等效控制器u₀

对非奇异终端滑模面σ求一阶导，得：

令

得到等效控制器u₀：

其中，

为u₀的一阶导；

(5)、设计基于分数阶符号函数的指数趋近的切换控制器u₁

其中，

为u₁的一阶导，

为正定对角阵，||·||为欧几里得范数，sgn(·)为符号函数，

为分数阶阶次为a的符号函数，且有0≤a＜1，

为自适应参数，实现对***误差和外界干扰上界的估计；

其中，切换控制器分为3个部分，第一项用于克服建模失配和外界干扰对控制的影响，从而有效解决了在没有先验知识的前提下，对不确定性的抑制问题，提高了***的鲁棒性；第二项和第三项为滑模面的指数趋近律，其中第二项使***状态从初始态向滑模面运动，第三项实现***状态从初始态到滑模面的指数趋近；

(6)、将等效控制器和切换控制器相加并积分，得到最终的控制器τ；

(7)、在控制器τ的控制下，六自由度机械臂的动力学模型输出实际的关节角q^*，再利用q^*替代假设的q，并返回步骤(2)，完成机械臂轨迹跟踪；

其中，所述的分数阶阶次为a的符号函数

满足条件：

其中，所述的自适应参数

的确定方法为：

利用死区技术对非奇异终端滑模面的范数||σ||＝0的[0,+ε)邻域进行处理，处理后的自适应参数为：

其中，ρ₀,ρ₁,ρ₂为正的可调参数，ε为一个很小的正常数。

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