CN104750613A - 一类有界闭连通域上的循环程序终止性判断方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一类有界闭连通域上的循环程序终止性判断方法，属于计算机技术领域。该方法包含以下步骤：1)遍历程序，查找程序中的循环程序，提取出有界闭连通域上的循环程序；2)依次判断步骤一所述的有界闭连通域上的程序循环问题是否满足可归约为有无不动点的等效问题，如果不满足则无法判断程序循环是否终止；3)依次判断步骤二所述的可归约的循环程序的不动点是否在有界闭连通域上，如果全都不在，那么该循环程序是可终止的，否则为不可终止的。该方法将这类循环的终止性判定问题归约为有无不动点的判定问题，能准确的判断出该类循环的终止性问题。

Description

一类有界闭连通域上的循环程序终止性判断方法

技术领域

本发明属于计算机技术领域，涉及一类有界闭连通域上的循环程序终止性判断方法。

背景技术

随着信息技术的迅猛发展，嵌入式***在人类生活中发挥着越来越重的作用，而嵌入式程序***运行中的可达性、终止性、不变式尤为重要，而程序的终止性分析是确保程序完全正确性的必要基础。技术人员在编写程序过程中总是希望能判断出程序是否终止，虽然一般的程序的终止性问题早已被证明是不可判定的，但是特殊的某些类程序还是可以分析出其终止性的，这也表明了对程序中终止性的研究是很有理论意义和实际应用意义的。当前，国际上主要通过合成秩函数来进行循环终止性分析，但其目前主要用来分析线性循环程序，而且秩函数的存在是循环可终止的充分而非必要条件，人们很容易构造一个循环程序，是可终止的，但是没有秩函数。

近来，计算机代数和实代数理论也逐渐被应用于程序自动验证，针对一些非线性循环程序进行了终止性判定。本发明针对赋值映射F为线性或者非线性，循环条件形成有界闭连通域S的一类循环程序提出了终止性问题分析方法，该方法被证明能准确的分析出该类循环的终止性问题。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一类有界闭连通域上的循环程序终止性判断方法，该方法能够准确的分析出有界闭连通域S的一类循环程序的终止性问题。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一类有界闭连通域上的循环程序终止性判断方法，包括以下步骤：

步骤一：遍历程序，查找程序中的循环程序，提取出有界闭连通域上的循环程序；

步骤二：依次判断步骤一中所述的有界闭连通域上的程序循环问题是否满足可归约为有无不动点的等效问题，如果不满足则无法判断程序循环是否终止；

步骤三：依次判断步骤二中所述的可归约的循环程序的不动点是否在有界闭连通域上，如果全都不在，那么该循环程序是可终止的，否则为不可终止的；

步骤一中的一类有界闭连通域上的循环程序表述为：S是n维空间中的有界闭的连通域，对给定n维连续映射F:X|→F(X)，循环程序形式为：while X∈S do{X＝F(X)}endwhile；

步骤二中的判断有界闭连通域上的程序循环问题可归约为有无不动点的等效问题必须满足两个条件：

1)存在正整数N，满足多项式理想I_N＝I_N+1，使得理想零点集

2)存在和正数h，对于任意的且k≠j，都存在任意X∈S，使得||F^j(X)|²-|X|²|≥h·||F^k(X)|²-|X|²|。

进一步，在步骤二中，判断有界闭连通域上的程序循环问题可归约为有无不动点的等效问题的条件1)的具体过程为：

1.1)根据n维连续映射F:X|→F(X)，

从i＝1,2,3...逐个构建理想I_i＝<|F(X)|²-|X|²,|F²(X)|²-|X|²,…,|Fⁱ(X)|²-|X|²>，直到判定到理想I_i＝I_i∪<|Fⁱ⁺¹(X)|²-|X|²>＝I_i+1时，此时N＝i，已证明该过程是必然有限终止的，其中， ${\left|F\left(X\right)\right|}^2=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\&Sigma;}}}{f}_i^2,$

1.2)计算理想I_N的约化Groebner基G_N，判断对任意的i＝1,2,...,n是否均有f_i-x_i∈G_N，其中，F(X)-X＝(f₁-x₁,...,f_n-x_n)，如果是，则理想零点集否则不满足条件1)。

本发明的有益效果在于：本发明运用计算机代数中的Groebner基理论，针对有界闭连通域上的一类循环程序的终止性问题，提出了一类有界闭连通域上的循环程序终止性判断方法，该方法将这类循环的终止性判定问题归约为有无不动点的判定问题，能准确的判断出该类循环的终止性问题。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和有益效果更加清楚，本发明提供如下附图进行说明：

图1为本发明所述方法的流程示意图。

具体实施方式

下面将结合附图，对本发明的优选实施例进行详细的描述。

图1为本发明所述方法的流程示意图，如图所示，本方法包括以下步骤：步骤一：遍历程序，查找程序中的循环程序，提取出有界闭连通域上的循环程序；步骤二：依次判断步骤一所述的有界闭连通域上的程序循环问题是否满足可归约为有无不动点的等效问题，如果不满足则无法判断程序循环是否终止；步骤三：依次判断步骤二所述的可归约的循环程序的不动点是否在有界闭连通域上，如果全都不在，那么该循环程序是可终止的，否则为不可终止的。

下面将结合附图1，对本发明的优选实施例进行详细的描述。

以如下循环程序为例：

While x²+y²≤1and x≥0and y≥0do

x＝2x²-3xy+1

y＝xy+7x+5

End while

针对上述循环程序终止性进行判断，该方法具体包括以下步骤：

步骤一、遍历程序，查找程序中的循环程序，提取出有界闭连通域上的循环程序，具体为：该实施案例程序为二维连续非线性映射F＝(f₁,f₂)＝(2x²-3xy+1,xy+7x+5)^T，判断得出S为有界闭连通域，符合本发明针对的循环范围。

步骤二、依次判断步骤一所述的有界闭连通域上的程序循环问题是否满足可归约为有无不动点的等效问题，如果不满足则无法判断程序循环是否终止，具体为：根据步骤一所得的非线性映射，从i＝1,2,3...逐个构建理想，判断到i＝3时，理想I₃＝I₃∪<|F⁴(X)|²-|X|²＝I₄，因而，得到正整数N＝3，以及理想I₃＝<|F(X)|²-|X|²,|F²(X)|²-|X|²,|F³(X)|²-|X|²,>；由于计算Groebner基技术已经比较成熟，我们可以通过现有的计算机软件工具包，如Maple，可以计算I₃的Groebner基G₃＝(3y²-2+24x-17y,xy+5+7x-y,2x²+16+20x-3y)，然后，根据理想成员判定算法得知：

f₁-x＝0·(3y²-2+24x^-17y)+(-3)·(xy+5+7x-y)+1·(2x²+16+20x-3y)，

f₂-y＝0·(3y²-2+24x-17y)+1·(xy+5+7x-y)+0·(2x²+16+20x-3y)。

因而f₁-x∈G₃，f₂-y∈G₃，符合有界闭连通域上的程序循环问题可归约为有无不动点的等效问题的条件(1)。进一步调用计算机软件BOTTEMA可以算出，当h＝10^-20时，有||F(X)|²-|X|²|≥h·||F²(X)|²-|X|²且||F(X)|²-|X|²|≥h·||F³(X)|²-|X|²|，从而满足有界闭连通域上的程序循环问题可归约为有无不动点的等效问题的条件(2)。综上所述，本发明可以判断出该循环的是否可终止。

步骤三、依次判断步骤二所述的可归约的循环程序的不动点是否在有界闭连通域上，由于迭代映射F的不动点都不在S中，可以得到该循环程序是可终止的。

最后说明的是，以上优选实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管通过上述优选实施例已经对本发明进行了详细的描述，但本领域技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离本发明权利要求书所限定的范围。

Claims (2)

1.一类有界闭连通域上的循环程序终止性判断方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一：遍历程序，查找程序中的循环程序，提取出有界闭连通域上的循环程序；

步骤二：依次判断步骤一中所述的有界闭连通域上的程序循环问题是否满足可归约为有无不动点的等效问题，如果不满足则无法判断程序循环是否终止；

步骤三：依次判断步骤二中所述的可归约的循环程序的不动点是否在有界闭连通域上，如果全都不在，那么该循环程序是可终止的，否则为不可终止的；

步骤一中的一类有界闭连通域上的循环程序表述为：S是n维空间中的有界闭的连通域，对给定n维连续映射F:X|→F(X)，循环程序形式为：while X∈S do{X＝F(X)}endwhile；

步骤二中的判断有界闭连通域上的程序循环问题可归约为有无不动点的等效问题必须满足两个条件：

1)存在正整数N，满足多项式理想I_N＝I_N+1，使得理想零点集

2)存在和正数h，对于任意的且k≠j，都存在任意X∈S，使得||F^j(X)|²-|X|²|≥h·||F^k(X)|²-|X|²|。

2.根据权利要求1所述的一类有界闭连通域上的循环程序终止性判断方法，其特征在于：在步骤二中，判断有界闭连通域上的程序循环问题可归约为有无不动点的等效问题的条件1)的具体过程为：

1.1)根据n维连续映射F:X|→F(X)，

从i＝1,2,3...逐个构建理想I_i＝<|F(X)|²-|X|²,|F²(X)|²-|X|²,…,|Fⁱ(X)|²-|X|²>，直到判定到理想I_i＝I_i∪<|Fⁱ⁺¹(X)|²-|X|²>＝I_i+1时，此时N＝i，已证明该过程是必然有限终止的；

1.2)计算理想I_N的约化Groebner基G_N，判断对任意的i＝1,2,...,n是否均有f_i-x_i∈G_N，其中，F(X)-X＝(f₁-x₁,...,f_n-x_n)，如果是，则理想零点集否则不满足条件1)。