CN100407568C - 用于永磁体旋转电机的无传感器控制***和方法 - Google Patents

Abstract

一种永磁体旋转电机控制***和方法，其包括用于计算所述电机转子速度估值的估值器。所述估值器从电机接收第一旋转参照系中的激励反馈，并输出第二旋转参照系中的转子速度估值。控制器接收转子速度请求和转子速度估值，并响应所述转子速度请求和转子速度估值信号，输出控制信号用于控制对所述电机的激励。所述第一旋转参照系以所述命令的转子速度旋转，所述第二旋转参照系以所述估算的实际转子速度旋转。

Description

用于永磁体旋转电机的无传感器控制***和方法

技术领域

本发明总体涉及对旋转电机的控制，尤其涉及对永磁体旋转电机的无传感器控制。

背景技术

永磁体电机，如无刷永磁体电动机，是人们所熟知的。例如，永磁体电动机通常包括其中具有相绕组的定子，和具有永磁体、绕定子旋转的转子。位置传感装置用来指示转子相对于定子的位置。相绕组激励通常由固态开关控制，这些开关响应位置传感器提供的转子位置指示，并以合适的换向顺序激励绕组。相绕组也可以用例如正弦波激励或控制角度的方波激励进行激励。

相绕组激励依赖于使电磁场与转子永磁体同步的方案。这包括通过位置传感器跟踪带有永磁体的转子的角位。但是，转子位置传感器可能非常昂贵。根据需要执行特定功能的电动机控制的水平，该成本可能占电动机成本中很大的一部分。此外，传感器及其配线需要占用电动机壳体内的空间。并且，传感器可能发生故障，这将导致电动机性能的显著下降，甚至导致电动机无法操作。

为了消除对位置传感器的需求，已经提出了许多“无传感器”的电动机结构。但是，已知的用于PM电动机的无传感器方案远远不能满足要求。例如，现有技术中的无传感器PM电机容易受噪音问题的影响，并且其性能容易随着转子速度而变化。此外，通常已知的无传感器PM电机只用于对电机的正弦波或120度方波激励。

因此，需要用于旋转PM电机中的高性能的无传感器控制***，以克服现有技术的缺点。

发明内容

在本发明的一方面，提供了一种永磁体旋转电机，如永磁体AC电动机，该电机的控制***包括用于计算所述电机转子速度估值的估值器。所述估值器从电机接收在第一旋转参照系中的激励反馈，并输出在第二旋转参照系中的转子速度估值。控制器接收转子速度请求和转子速度估值，并响应转子速度请求和转子速度估值信号而输出用于控制对电机的激励的控制信号。

在本发明的另一方面，提供了一种控制永磁体旋转电机的方法，所述方法包括：接收转子速度请求，并响应所述速度请求产生转子速度命令。产生以所述命令的转子速度旋转的第一旋转参照系，并且把相绕组激励反馈从静止参照系转换到第一旋转参照系。估算电机转子的实际速度，并产生以估算的实际转子速度旋转的第二旋转参照系。把所述激励反馈从第一旋转参照系转换到第二旋转参照系，并计算相激励命令。把所述相激励命令从第二旋转参照系转换到静止参照系以用于电机的相绕组。

两个旋转参照系的使用在电机的速度范围内提高了控制***的性能。在示例实施中，根据转子速度命令计算转子位置命令，并且还基于其产生所述第一旋转参照系。实际转子位置可以根据磁体感生磁链估值进行估算。

附图说明

本发明的其它方面和优点通过阅读下文的详细描述和参照附图可以变得更为明显，其中：

图1是示出根据本发明实施例的旋转永磁体电机***的方框图；

图2是示出根据本发明实施例的控制永磁体电机的方法的流程图；

图3是在原理上示出图1所示的永磁体电机***的其它方面的方框图；

图4在原理上示出了用于将信号从静止参照系转换到旋转参照系的功能模块；

图5是在原理上示出根据本发明实施例的转子角度和速度估值器的方框图；

图6是在原理上示出根据本发明实施例的控制器功能模块方面的方框图。

本发明容许各种变形和可选形式，而在附图中示例示出、并在本文中详细描述了本发明的具体实施例。但是，可以理解，这里描述的具体实施例并不用于将本发明限制到所公开的特定形式，而是相反，其旨在包括在由所附权利要求书所限定的精神和范围内的所有变形、等同物和可选形式。

具体实施方式

下面描述本发明的实施例。为了清楚起见，本说明书并不描述实际实施的所有特征。当然应该理解，在开发任一实际实施例时，必须制定许多特定实施方案以达到实施者的特定目的，如符合***相关和商业相关的限制条件，所述限制条件对于不同实施是不同的。此外，可以理解，这种开发尝试是复杂和耗时的，但是，对于受益于本公开的本领域普通技术人员来说，所述尝试将是一些常规工作。

图1示出了根据本发明内容的旋转永磁体电机***10。该电机***10包括旋转永磁体电机，例如永磁体AC(“PMAC”)电动机12。为简单起见，本说明书中常用到术语“电动机”。但是，受益于本公开的本领域技术人员可以理解，本发明也适用于其它类型的旋转电机，包括电动机和发电机。PM电动机12具有常规结构，包括旋转部件(转子13)和静止部件(定子14)。在所示的示例实施例中，PM电动机12是三相电机，因此定子14上的线圈是分别与电机的相A、B、C对应的可激励相绕组14A、14B、14C。这些相绕组14A、14B、14C可以通过对电动机端子15A、15B、15C施加电源而被激励。

将驱动器20耦合到电机12的端子15A、15B、15C上以向其提供电源。该驱动器20从控制器22接收控制输入，控制器22被耦合到电机12上以从其接收关于激励反馈19的反馈，所述激励反馈例如是在端子15A、15B、15C上的电流和/或电压。驱动器20仅以示例的形式被示出为对三相电机12提供三个电源端子，但可以理解，可以提供更多或更少的电源端子，以适应具有多于三相、少于三相、或使用了各种变换器(例如具有中性线连接)的电机。驱动器20可以是常规设计，并被设置为用来给绕组14A、14B、14C提供正弦波激励，或者可以通过六步换向(six-step commutation)而采用方波激励。

控制器22还接收对应于电机12的希望输出参数的输入命令信号，所述参数如转子速度、输出转矩等。在所示实施例中，控制器22接收表示转子13的希望旋转速度的速度请求信号24。在下文更详细的描述中，驱动器20响应控制器22控制对PM电机12的电源的施加，以获得请求的速度，即控制器使希望转速和实际转速之间的差值最小化。

该PM电机***12是“无传感器”***，其中未使用直接传感转子位置的装置。而是，转子位置和转速是基于激励反馈19确定的，这样消除了因为单独的位置传感器而增加的成本和复杂性。

图2总体示出了对根据本发明示例实施例的***10的控制方法。这里描述的不同转换和控制方案可以通过例如经过适当编程的数字控制器来实施，所述控制器如数字信号处理器(DSP)、微控制器或微处理器等。如上所述，控制器22接收表示转子13的希望旋转速度的速度请求信号24。通常，将该速度请求与实际转子速度比较以计算出速度误差，然后将控制规则(control law)施加到该误差信号上以调节施加到电机端子15A、15B、15C上的电源，从而使速度误差最小化。由于在所示***10中没有使用转子位置传感器，则使用从电机端子15A、15B、15C上获取的信息以估算转子的位置和速度，并且将该估值与上述速度请求信号24比较以计算出速度误差。

参照图2，***接收速度请求信号24，并在方框210中根据该信号产生速度和角度命令。在方框212中，将所述速度和角度命令信号与激励反馈19(例如相电流和/或电压)一起用于产生第一旋转参照系，然后将激励反馈19从静止的定子参照系转换到第一旋转参照系。

在起动(零速度)时，端子反馈信息19是无效的。因此，***起动开环，在方框212中，使用开环起动信息(方框214)产生旋转参照系和顺序命令信号。此外，由于电机12没有转子位置传感器，并由于在零速度下估算的转子实际速度的信息是无效的，因此，第一旋转参照系在初始是基于所命令的转速和角度。

在方框218中，将被转换到以命令转速旋转的第一参照系中的端子反馈19用于估算实际的转子角度。在所示的示例方法中，在方框214中，在第一参照系中估算总磁链和磁体磁链。在方框216中，将该磁链估值转换到定子αβ参照系中，并在方框218中用于估算转子角度。在方框220中，基于在方框218中估算的实际转子角度产生第二旋转参照系，其与所估算的转子角度同步地旋转，以及在方框222中，在第二旋转参照系中估算实际转子速度。

将估算的转子角度和速度信息(方框218，222)反馈到控制器22，并在方框224将其与角度和速度命令信号一起施加到各种控制规则中，以产生将要施加到电机端子15A、15B、15C上的合适的电压。在方框226中，将电压信息转换到静止参照系中，从而驱动器20可以把所述合适的电压施加到电机端子15A、15B、15C上。

图3在原理上示出了根据本发明特定实施例的PM电机***10的其它方面。在很多应用中共同的是，使用所谓的平衡三相供电来激励电机的相绕组。在这样的***中，当使用三相电动机时，三相电流的总和为零。这样，可以使用αβ0参照系(“FoR”)。下面的公开中采用了利用平衡三相供电的PMAC电动机。

根据速度请求信号24，将用于A、B、C电动机相的角度和速度命令信号输出到转换模块30，在其中产生第一(或“命令”)参照系，该参照系与命令的电机速度和命令的转子位置同步地旋转。换句话说，该命令参照系以上述命令的速度旋转。这里的命令参照系还可以称作“QDv”参照系(“QDv-FoR”)。转换模块30还接收电动机端子反馈19，并将相电流和相电压转换到上述命令参照系。

图4更详细地总体示出了转换模块30。如上所述，将电流和电压信号从静止的ABC参照系(“ABC-FoR”)转换到命令参照系，所述命令参照系以命令速度旋转并与命令的角度(转子位置)同步地旋转。转换模块30包括电流功能模块30A和电压功能模块30B。该电流和电压功能模块30A、30B分别接收相电流101A、101B、101C和命令电压102A、102B、102C，这些电流电压被提供给驱动器20以用于施加到电动机端子15A、15B、15C上。每个功能模块30A、30B还接收角度命令信号110。将所述相电流和电压信息从ABC-FoR转换到αβ0-FoR，然后转换到QDv-FoR。电流信号121、122和电压信号123、124由转换模块30输出，所述模块表示在命令参照系中的电流和电压。

估值器模块32从转换模块30接收电流和电压信号121-124。图5更详细地示出了估值器32。估值器32包括磁链估值器32A和角度估值器32B。所述磁链估值器32A接收电流和电压信号121-124，并同时从控制器22接收速度命令信号111，以及从低通滤波器164接收转子估算速度的过滤表示(filtered representation)163。磁链估值器32A计算在命令参照系中的总磁链和磁体感生磁链的估值，从而，输出总磁链估值信号131、132和磁体磁链估值信号133、134。然后角度估值器32B接收该磁体磁链信号133、134和角度命令信号110，以计算实际转子角度140的估值。所述磁体磁链信号133、134在命令参照系中被角度估值器32B接收，并被转换到αβ0-FoR。然后使用αβ0-FoR中的磁通量估值用于估算转子的角度位置，并由角度估值器32B输出对应信号140。

将转子角度估值信号140提供给QDv到QDr的转换功能模块150，该模块使用该信息把电流和电压信号121-124从上述命令参照系(以所述命令速度旋转，并与所述命令角度(转子位置)同步)转换到第二或“转子”旋转参照系，该参照系与估算的实际转子速度同步地旋转。该转子参照系也可以称作QDr参照系(“QDr-FoR”)。

两个旋转参照系(QDv-FoR和QDr-FoR)的使用在电机12的整个速度范围内提供了更好的响应和高性能。由于命令参照系即使在起动时也与转子参照系以几乎相同的速度旋转，因此，显著减小了所需的控制器和估值器的增益。所述两个旋转参照系在***达到稳定状态时会迅速会聚，这样第一和第二旋转参照系将同步旋转。第一和第二旋转参照系以相同的速度旋转的结果是，磁体磁链和总磁链的估值变成“DC”量，从而允许估值器误差在稳定状态时变为零。

转换模块150输出在转子参照系中的电流信号151、152和电压信号153、154。在特定实施例中，过滤电流信号151、152并将其与输入信号155、156一起提供给速度估值器。然后，速度计算器160使用转子参照系中的电流和电压信号151-156来计算实际转子速度的估值162。将转子角度和速度估值信号140、162和磁链估值信号131、132反馈给控制器22。图6中更详细地总体示出了控制器22。控制器22包括角度和速度命令发生器22A和磁通量控制器22B。角度和速度命令发生器22A接收速度请求信号24和估算速度信号162，并响应其输出角度和速度命令信号110、111。

磁通量控制器22B包括在转子参照系(与估算的实际转子速度同步地旋转)中操作的QDr磁通量控制器170。该QDr磁通量控制器170把磁链估值信号131、132从命令参照系(QDv-FoR)转换到转子参照系(QDr-FoR)。将速度命令111和估算的实际速度140、以及被转换的磁链信号131、132施加到适当的控制规则，以产生在转子参照系或QDr-FoR中的命令电压信号。

更具体的是，在QDr磁通量控制器170中，比较命令速度111与估算速度162，并将在QDv FoR中的总磁链估值131、132转换到QDr FoR中。从预定映射和所述速度误差产生QDr FoR中的总磁链座标。将前馈项添加到磁链座标中并形成磁链误差。最后，通过作用在QDr FoR磁链误差上的QDr FoR磁链控制规则而产生QDr命令电压。在可选实施例中，使用电流控制器来替代QDr磁链控制器170以控制电流而不是磁通量。

然后，在转换功能模块172中，将所述命令电压信号从QDr-FoR转换到静止αβ0-FoR，再转换到ABC-FoR，该模块输出电压命令信号102A、102B、102C。但是，在起动或者零转速时，端子反馈19对于QDr磁链控制器170的操作是无效的。因此，在本发明的示例实施例中包括开环起动控制器174。该起动控制器174从角度和速度命令发生器22A接收速度命令信号110，以产生开环角度命令信号。将合适的增益系数施加到该角度命令信号上，以为每个电机相产生开环起动电压命令。将所述开环起动电压命令提供给转换模块172，以产生合适的电压命令信号102A、102B、102C。在其它示例实施例中，没有使用开环起动控制器174，而是由QDr磁链控制器170产生需要的开环起动功能，该控制器170产生表示额定负载特征的QDr FoR磁链座标部分。

附图中提供了详细的方框图，示出了根据本发明实施例的示例控制***的转换和计算的详细内容。

下面描述用于实施上述控制***的示例方案。假设PM电机12由利用三相平衡供电的PMAC电动机组成。理想PMAC电动机的相磁链模型可以矩阵形式表示如下：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λan}\left(t\right)\\ \mathrm{\λbn}\left(t\right)\\ \mathrm{\λcn}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\·\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ \mathrm{\λ}f\·\cos (\mathrm{\θr}\left(t\right)+\frac{-2}{3}\·\mathrm{\π})\\ \mathrm{\λf}\·\cos (\mathrm{\θr}\left(t\right)+\frac{-4}{3}\·\mathrm{\π})\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}L1s& -M& -M\\ -M& L1s& -M\\ -M& -M& L1s\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Ia}\left(t\right)\\ \mathrm{Ib}\left(t\right)\\ \mathrm{Ic}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(1\right)$

同一PMAC电机的电(电压)公式通常如下：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{Van}\left(t\right)\\ \mathrm{Vbn}\left(t\right)\\ \mathrm{Vcn}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{Ra}& 0& 0\\ 0& \mathrm{Rb}& 0\\ 0& 0& \mathrm{Rc}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Ia}\left(t\right)\\ \mathrm{Ib}\left(t\right)\\ \mathrm{Ic}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λan}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λbn}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λcn}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(2\right)$

磁体感生磁链可以写为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_a\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_b\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_c\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\·\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ \mathrm{\λ}f\cos (\mathrm{\θr}\left(t\right)+\frac{-2}{3}\·\mathrm{\π})\\ \mathrm{\λ}f\·\cos (\mathrm{\θr}\left(t\right)+\frac{-4}{3}\mathrm{\π})\end{array}\right]---\left(3\right)$

磁体磁链对时间的微分可以写为：

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_a\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_b\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_c\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\λf}\·\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\·\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\θr}\left(t\right)\\ -\mathrm{\λ}f\sin (\mathrm{\θr}\left(t\right)+\frac{-2}{3}\mathrm{\π})\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\θr}\left(t\right)\\ -\mathrm{\λf}\·\sin (\mathrm{\θr}\left(t\right)+\frac{-4}{3}\·\mathrm{\π})\·\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\θr}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(4\right)$

公式1-4的每一个均可通过使用C和C_inv转换到αβ0FoR。转换公式如下：

fαβ0＝Cfabc                           (5)

fabc＝C_invfαβ0                       (6)

$C=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& \frac{-1}{3}& \frac{-1}{3}\\ 0& \frac{-1}{3}\·\sqrt{3}& \frac{1}{3}\·\sqrt{3}\\ \frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right]---\left(7\right)$

$C\_\mathrm{inv}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ \frac{-1}{2}& \frac{-1}{2}\·\sqrt{3}& 1\\ \frac{-1}{2}& \frac{1}{2}\·\sqrt{3}& 1\end{array}\right]---\left(8\right)$

如下将公式1-4转换到αβ0-FoR。理想PMAC电动机的相磁链模型公式1在αβ0-FoR参照系中被写为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ\β}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ}0\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ}f\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\mathrm{\λ}f\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}L1s+M& 0& 0\\ 0& L1s+M& 0\\ 0& 0& L1s-2M\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{I\α}\left(t\right)\\ \mathrm{I\β}\left(t\right)\\ I0\left(t\right)\end{array}\right]---\left(9\right)$

当Ra＝Rb＝Rc时，同一PMAC电动机的电(电压)公式公式2在αβ0-FoR参照系中被写为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{V\α}\left(t\right)\\ \mathrm{V\β}\left(t\right)\\ V0\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}R& 0& 0\\ 0& R& 0\\ 0& 0& R\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{I\α}\left(t\right)\\ \mathrm{I\β}\left(t\right)\\ I0\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\β}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ}0\left(t\right)\end{array}\right]---\left(10\right)$

磁体感生磁链的公式3在αβ0坐标系下被写为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_0\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\·\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\mathrm{\λ}f\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ 0\end{array}\right]---\left(11\right)$

磁体感生磁链对时间的微分的公式4在αβ0坐标系下被写为：

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_0\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\λ}f\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\θr}\left(t\right)\\ -\mathrm{\λf}\·\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\θr}\left(t\right)\\ 0\end{array}\right]---\left(12\right)$

求解公式9以得到αβ0下的电流的结果如下：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{I\α}\left(t\right)\\ \mathrm{I\β}\left(t\right)\\ I0\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}& 0\\ 0& 0& \frac{-1}{(-L1s+2M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ\β}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ}0\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}& 0\\ 0& 0& \frac{-1}{(L1s+2M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ}f\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\mathrm{\λ}f\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ 0\end{array}\right]---\left(13\right)$

将公式13代入公式10得：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{V\α}\left(t\right)\\ \mathrm{V\β}\left(t\right)\\ V0\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}R& 0& 0\\ 0& R& 0\\ 0& 0& R\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}& 0\\ 0& 0& \frac{-1}{(-L1s+2\·M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ\β}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ}0\left(t\right)\end{array}\right]\·\·\·\\ +(-1)\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}& 0\\ 0& 0& \frac{-1}{(-L1s+2M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ}f\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\mathrm{\λf}\·\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ 0\end{array}\right]\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\β}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ}0\left(t\right)\end{array}\right]---\left(14\right)$

公式14可以简化如下：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{V\α}\left(t\right)\\ \mathrm{V\β}\left(t\right)\\ V0\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}\frac{R}{(L1s+M)}& 0& 0\\ 0& \frac{R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& 0& \frac{-R}{(-L1s+2\·M)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ\β}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ}0\left(t\right)\end{array}\right]\·\·\\ +\left[\begin{array}{ccc}\frac{-R}{(L1s+M)}& 0& 0\\ 0& \frac{-R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& 0& \frac{R}{(-L1s+2\·M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ}f\·\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\mathrm{\λ}f\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ 0\end{array}\right]\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\β}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ}0\left(t\right)\end{array}\right]---\left(15\right)$

解出上述磁链对时间的微分的结果如下

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\β}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ}0\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{V\α}\left(t\right)\\ \mathrm{V\β}\left(t\right)\\ V0\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}\frac{R}{(L1s+M)}& 0& 0\\ 0& \frac{R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& 0& \frac{-R}{(-L1s+2\·M)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ\β}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ}0\left(t\right)\end{array}\right]\·\·\·\\ +\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccc}\frac{-R}{(L1s+M)}& 0& 0\\ 0& \frac{-R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& 0& \frac{R}{(-L1s+2\·M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ}f\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\mathrm{\λ}f\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ 0\end{array}\right]\end{array}\end{array}\right]---\left(16\right)$

用于建立***状态模型的另一公式是转矩公式。假定负载转矩是完全惯性的：

$J\frac{d^2}{{\mathrm{dt}}^2}\left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)=\mathrm{Te}(\mathrm{I\α},\mathrm{I\β},I0,\mathrm{\θr})=(-\mathrm{\λf}\·\frac{\mathrm{Np}}{2})\·\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{2}\·\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \frac{3}{2}\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{I\α}\\ \mathrm{I\β}\\ I0\end{array}\right]---\left(17\right)$

解出角速度(ωr_dot)：

$\mathrm{\ωr}\_\mathrm{dot}\left(t\right)=\frac{-3\·\mathrm{\λf}}{2\·J}\·\frac{\mathrm{Np}}{2}\·\left(\begin{array}{ccc}\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& 0\end{array}\right)\left[\begin{array}{c}\mathrm{I\α}\\ \mathrm{I\β}\\ I0\end{array}\right]---\left(18\right)$

从公式13中替换Iα(t)和Iβ(t)，结果如下：

$\mathrm{\ωr}\_\mathrm{dot}\left(t\right)=\frac{-3\·\mathrm{\λf}}{2\·J}\frac{\mathrm{Np}}{2}\·\left(\begin{array}{cc}\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\end{array}\right)\·\left[\begin{array}{c}\frac{1}{(L1s+M)}\·\mathrm{\λ\α}\left(t\right)-\frac{1}{(L1s+M)}\·\mathrm{\λ}f\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ \frac{1}{(L1s+M)}\·\mathrm{\λ\β}\left(t\right)+\frac{1}{(L1s+M)}\mathrm{\λ}f\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\end{array}\right]---\left(19\right)$

化简并以总磁链和磁体感生磁链λf_x’s和λx’s的形式表达转矩公式，唯一得出：

$\mathrm{\ωr}\_\mathrm{dot}\left(t\right)=\left(\frac{3}{2}\right)\·\frac{\mathrm{Np}}{2}\·\frac{1}{(J\·(L1s+M))}\·\mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\mathrm{\λ\α}\left(t\right)-\left(\frac{3}{2}\right)\·\frac{\mathrm{Np}}{2}\·\frac{1}{\left(J(L1s+M)\right)}\·\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\·\mathrm{\λ\β}\left(t\right)---\left(20\right)$

利用公式17、16、11和12的，可以将λα、λβ、λf_α、λf_β作为状态变量而表达状态方程。

由于公式右边的第二项包含状态变量的积，因此公式21是非线性的。在假定估值器的收敛比由“过去值(past value)”所限定的操作点的变化快得多时，则公式22关于状态变量的“过去值”(由xxxx_nom表示过去值)是线性变化的。但是，由于上述推荐方案使用αβ变量，因此变量估值以对应于电动机电频率的循环频率变化。当电动机电频率接近线性估值器的“极点”时，上述假设将基本“瓦解”。如果将估算变量转换到附在转子上的参照系中，在其中状态变量会变为稳态操作下的DC量，则可以缓解上述问题。

可以从公式13中推导出用于从磁链估值得出αβ电流估值(Iα_hat(t)和Iβ_hat(t))的计量方程(measurement equation)，其表示如下：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{I\α}\_\mathrm{hat}\left(t\right)\\ \mathrm{I\β}\_\mathrm{hat}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0& -\left[\frac{1}{(L1s+M)}\right]& 0& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}& 0& -\left[\frac{1}{(L1s+M)}\right]& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ\β}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\\ \mathrm{\ωr}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(23\right)$

静止αβ0-FoR和QDv-FoR(与命令速度值θv(t)同步地旋转)之间的转换可以写为：

$\mathrm{KQDv}\_\mathrm{\α\β}=\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]---\left(24\right)$

$\mathrm{KQDv}\_\mathrm{\α\β}\_\mathrm{inv}=\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]---\left(25\right)$

$\mathrm{KQDv}\_\mathrm{\α\β}\_\mathrm{inv}\_\mathrm{dot}=\left[\begin{array}{cc}-\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\·\mathrm{\θv}\_\mathrm{dot}\left(t\right)---\left(26\right)$

αβ0-FoR和QDv-FoR变量之间的关系是

fQDv＝KQDv_αβ·fαβ                               (27)

fαβ＝KQDv_αβ_inv fQDv                            (28)

下面把公式16、20从αβ0-FoR转换到QDv-FoR。通过以λf_α(t)、λf_β(t)替换cos(θr(t))和sin(θr(t))项而重新表示公式16，并以矢量形式表示公式20。

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\β}\left(t\right)\end{array}\right]=[\left[\begin{array}{c}\mathrm{V\α}\left(t\right)\\ \mathrm{V\β}\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\frac{R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{R}{(L1s+M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ\β}\left(t\right)\end{array}\right]]-\left[\begin{array}{cc}\frac{-R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{-R}{(L1s+M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(29\right)$

$\mathrm{\ωr}\_\mathrm{dot}\left(t\right)=\frac{3}{2}\frac{\frac{\mathrm{Np}}{2}}{\left(J(L1s+M)\right)}\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{\λ\β}\left(t\right)& \mathrm{\λ\α}\left(t\right)\end{array}\right)\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(30\right)$

用状态变量λα(t)、λβ(t)、λf_α(t)和λf_β(t)重新表示公式30为：

$\mathrm{\ωr}\_\mathrm{dot}\left(t\right)=\frac{3}{2}\·\frac{\frac{\mathrm{Np}}{2}}{\left(J(L1s+M)\right)}{[\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ\β}\left(t\right)\end{array}\right]]}^T\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(31\right)$

现在利用公式(28)所述的关系替换αβ变量，把公式29和31转换到QDv-FoR：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]\right]=[\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqv}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdv}\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\frac{R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{R}{(L1s+M)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]].$

$+(-1)\left[\begin{array}{cc}\frac{-R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{-R}{(L1s+M)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(32\right)$

$\mathrm{\ωr}\_\mathrm{dot}\left(t\right)=\frac{3}{2}\frac{\frac{\mathrm{Np}}{2}}{\left(J(L1s+M)\right)}{[\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]]}^T\·\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(33\right)$

公式32的左边展开为：

$\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]+\mathrm{\θv}\_\mathrm{dot}\left(t\right)\left[\begin{array}{cc}-\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqv}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdv}\left(t\right)\end{array}\right]\·\·$

$\begin{array}{c}+(-1)\left[\begin{array}{cc}\frac{R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{R}{(L1s+M)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]\·\·\\ +(-1)\left[\begin{array}{cc}\frac{-R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{-R}{(L1s+M)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]\end{array}---\left(34\right)$

用公式24给出的KQDv_αβ乘以公式35的两边得：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]+\mathrm{\θv}\_\mathrm{dot}\left(t\right)\·\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqv}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdv}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\frac{-R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{-R}{(L1s+M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\frac{R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{R}{L1s+M}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(35\right)$

解出d/dt(λqv(t))和d/dt(λdv(t)得：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqv}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdv}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\frac{-R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{-R}{(L1s+M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\frac{R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{R}{L1s+M}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]+\mathrm{\θv}\_\mathrm{dot}\left(t\right)\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(36\right)$

公式34也可以简化如下：

$\mathrm{\ωr}\_\mathrm{dot}\left(t\right)=\frac{3}{2}\·\frac{\frac{\mathrm{Np}}{2}}{(J\·(L1s+M))}\·\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{\λdv}\left(t\right)& \mathrm{\λqv}\left(t\right)\end{array}\right)\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(37\right)$

使用公式11和12(下面重写的公式11和12只具有αβ项)推导出λf_α(t)、λf_β(t)和d/dt(λf_α(t))、d/dt(λf_β(t))之间的关系。

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\·\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\mathrm{\λf}\·\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\end{array}\right]---\left(11\right)$

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\λ}f\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\mathrm{\λ}f\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\mathrm{\ωr}\left(t\right)---\left(12\right)$

公式11和12包含

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\\ -\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\end{array}\right]\·\mathrm{\ωr}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\end{array}\right]\·\mathrm{\ωr}\left(t\right)---\left(38\right)$

利用公式28所示关系转换αβ0-FoR中的变量，从而把公式38转换到QDv-FoR(以角速度θv(t)旋转)。

$\frac{d}{\mathrm{dt}}[\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]\·\mathrm{\ωr}\left(t\right)---\left(39\right)$

公式39的左边如下展开：

$[\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}-\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]\mathrm{\θv}\_\mathrm{dot}\left(t\right)]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]\mathrm{\ωr}\left(t\right)---\left(40\right)$

公式40的两边都乘以KQDv_αβ。

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]\mathrm{\θv}\_\mathrm{dot}\left(t\right)=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]\·\mathrm{\ωr}\left(t\right)---\left(41\right)$

求出d/dt(λf_qv(t))和d/dt(λf_dv(t))为

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]\·\mathrm{\ωr}\left(t\right)+\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]\·\mathrm{\ωv}\left(t\right)---\left(42\right)$

公式42的可以简化为如下形式。

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& (\mathrm{\ωr}\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))\\ -(\mathrm{\ωr}\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(43\right)$

公式36、37和43这三个公式可以用来建立***状态模型，被如下重写：

$\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqv}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdv}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\frac{-R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{-R}{(L1s+M)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\frac{R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{R}{L1s+M}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]+\mathrm{\θv}\_\mathrm{dot}\left(t\right)\·\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(36\right)$

$\mathrm{\ωr}\_\mathrm{dot}\left(t\right)=\frac{3}{2}\·\frac{\frac{\mathrm{Np}}{2}}{(J\·(L1s+M))}\·\left(\begin{array}{cc}-\mathrm{\λdv}\left(t\right)& \mathrm{\λqv}\left(t\right)\end{array}\right)\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(37\right)$

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& (\mathrm{\ωr}\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))\\ -(\mathrm{\ωr}\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(43\right)$

五个状态变量 $\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\\ \mathrm{\ωr}\_\mathrm{dot}\left(t\right)\end{array}\right]$ 的非线性状态方程可以写为：

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λdv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\ωr}\left(t\right)\end{array}\right]=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccccc}\frac{-R}{(L1s+M)}& -\mathrm{\ωv}\left(t\right)& \frac{R}{(L1s+M)}& 0& 0\\ \mathrm{\ωv}\left(t\right)& \frac{-R}{(L1s+M)}& 0& \frac{R}{L1s+M}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\\ \mathrm{\ωr}\left(t\right)\end{array}\right]\end{array}+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ (\mathrm{\ωr}\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\\ -(\mathrm{\ωr}\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \frac{3}{2}\·\frac{\frac{\mathrm{Np}}{2}}{\left(J(L1s+M)\right)}(-\mathrm{\λdv}\left(t\right)\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)+\mathrm{\λqv}\left(t\right)\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right))\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqv}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(44\right)$

下面，把公式13转换到QDv-FoR以得出QDv-FoR中的计量方程。将公式13重写如下：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{I\α}\left(t\right)\\ \mathrm{I\β}\left(t\right)\\ I0\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}& 0\\ 0& 0& \frac{-1}{(-L1s+2M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ\β}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ}0\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}& 0\\ 0& 0& \frac{-1}{(-L1s+2M)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ}f\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\mathrm{\λ}f\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ 0\end{array}\right]---\left(13\right)$

下面示出了仅以αβ-FoR磁通量项表示的公式13：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{I\α}\left(t\right)\\ \mathrm{I\β}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ\β}\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(45\right)$

替换αβ-FoR变量得到：

$\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Iqv}\left(t\right)\\ \mathrm{Idv}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(46\right)$

下面示出公式46两边都乘以KQDv_αβ。

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{Iqv}\left(t\right)\\ \mathrm{Idv}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(47\right)$

用标准的状态变量形式，估算的QDv-FoR电流可以表示为

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{Iqv}\_\mathrm{hat}\left(t\right)\\ \mathrm{Idv}\_\mathrm{hat}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0& -\left[\frac{1}{(L1s+M)}\right]& 0& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}& 0& -\left[\frac{1}{(L1s+M)}\right]& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\\ \mathrm{\ωr}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(48\right)$

公式48(如上)和公式44(重写为如下)一起形成了标准形式的***状态模型。

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λdv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\ωr}\left(t\right)\end{array}\right]=\begin{array}{c}\left[\begin{array}{ccccc}\frac{-R}{(L1s+M)}& -\mathrm{\ωv}\left(t\right)& \frac{R}{(L1s+M)}& 0& 0\\ \mathrm{\ωv}\left(t\right)& \frac{-R}{(L1s+M)}& 0& \frac{R}{L1s+M}& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\\ \mathrm{\ωr}\left(t\right)\end{array}\right]+\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ (\mathrm{\ωr}\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\\ -(\mathrm{\ωr}\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \frac{3}{2}\frac{\frac{\mathrm{Np}}{2}}{\left(J(L1s+M)\right)}(-\mathrm{\λdv}\left(t\right)\·\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)+\mathrm{\λqv}\left(t\right)\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right))\end{array}\right]\end{array}\end{array}+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqv}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(44\right)$

下面考虑上述***状态方程的两个修改。首先是公式44的线性化：

符号“xxx_1”表示变量的最终值(last value)。在使用上述估值器形式的情况下，假设所有状态相对于估值器的收敛速率几乎不变。计量方程48保持不变。在假设公式49的“A”矩阵的所有矩阵元基本不变下，可以利用极点配置(pole placement)设计“增益预定”的观测器。极点配置问题变为求解下述公式以得出K。

eigenvals(A-K C)＝Desired_poles                         (50)

其中的A、K、C定义如下：

$A=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{-R}{(L1s+M)}& -\mathrm{\ωv}\left(t\right)& \frac{R}{(L1s+M)}& 0& 0\\ \mathrm{\ωv}\left(t\right)& \frac{-R}{(L1s+M)}& 0& \frac{R}{L1s+M}& 0\\ 0& 0& 0& (\mathrm{\ωr}\_1\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))& \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\_1\left(t\right)\\ 0& 0& -(\mathrm{\ωr}\_1\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))& 0& -\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\_1\left(t\right)\\ \frac{3}{2}\·\frac{\frac{\mathrm{Np}}{2}}{\left(J(L1s+M)\right)}\·\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\_1\left(t\right)& \frac{3}{2}\·\frac{\frac{\mathrm{Np}}{2}}{\left(J(L1s+M)\right)}(-1\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\_1\left(t\right))& \frac{3}{2}\frac{\frac{\mathrm{Np}}{2}}{\left(J(L1s+M)\right)}(-\mathrm{\λdv}\_1\left(t\right))& \frac{3}{2}\frac{\frac{\mathrm{Np}}{2}}{\left(J(L1s+M)\right)}(\mathrm{\λqv}\_1\left(t\right))& 0\end{array}\right]---\left(51\right)$

$K=\left[\begin{array}{cc}k11& k12\\ k21& k22\\ k31& k32\\ k41& k42\\ k51& k52\end{array}\right]---\left(52\right)$

$C=\left[\begin{array}{ccccc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0& -\left[\frac{1}{(L1s+M)}\right]& 0& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}& 0& -\left[\frac{1}{(L1s+M)}\right]& 0\end{array}\right]---\left(53\right)$

在降阶实施中，其中ωr(t)不直接由估值器估算，所述状态和增益矩阵变为

$A=\left[\begin{array}{cccc}\frac{-R}{(L1s+M)}& -\mathrm{\ωv}\left(t\right)& \frac{R}{(L1s+M)}& 0\\ \mathrm{\ωv}\left(t\right)& \frac{-R}{(L1s+M)}& 0& \frac{R}{L1s+M}\\ 0& 0& 0& (\mathrm{\ωr}\_1\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))\\ 0& 0& -(\mathrm{\ωr}\_1\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))& 0\end{array}\right]---\left(54\right)$

$K=\left[\begin{array}{cc}k11& k12\\ k21& k22\\ k31& k32\\ k41& k42\end{array}\right]---\left(55\right)$

$C=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{(L1s+M)}& 0& -\left[\frac{1}{(L1s+M)}\right]& 0\\ 0& \frac{1}{(L1s+M)}& 0& -\left[\frac{1}{(L1s+M)}\right]\end{array}\right]---\left(56\right)$

降阶状态方程可写为：

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λdv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{-R}{(L1s+M)}& -\mathrm{\ωv}\left(t\right)& \frac{R}{(L1s+M)}& 0\\ \mathrm{\ωv}\left(t\right)& \frac{-R}{(L1s+M)}& 0& \frac{R}{L1s+M}\\ 0& 0& 0& (\mathrm{\ωr}\_1\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))\\ 0& 0& -(\mathrm{\ωr}\_1\left(t\right)-\mathrm{\ωv}\left(t\right))& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqv}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdv}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(57\right)$

一旦估算出λf_qv(t)和λf_dv(t)，可利用公式25将这些量转换回αβ0-FoR。

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{\α}\_\mathrm{hat}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{\β}\_\mathrm{hat}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θv}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qv}\_\mathrm{hat}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dv}\_\mathrm{hat}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(58\right)$

可以利用角度(第四象限atan()函数)计算转子位置估值(θr_hat(t))。

θr_hat(t)＝angle(λf_α_hat(t)，λf_β_hat(t))           (59)

可以从αβ0-FoR中的公式9、10(相磁链模型和理想PMAC电动机的电方程)中推导出计算转子速度(ωr(t))的方法。因此，转子速度的计算不仅仅可以基于求相磁链的微分，还可以通过以“最小二乘”法求解两个公式而得出一个变量。这样提供了对于参数变化更准确(robust)的转子速度估值。将只含有αβ分量的公式9、10重写如下：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \mathrm{\λ\β}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λ}f\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\mathrm{\λ}f\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}L1s+M& 0\\ 0& L1s+M\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{I\α}\left(t\right)\\ \mathrm{I\β}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(9\right)$

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{V\α}\left(t\right)\\ \mathrm{V\β}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0& R\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{I\α}\left(t\right)\\ \mathrm{I\β}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\β}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(10\right)$

将公式9对时间求微分得：

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\α}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λ\β}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\λf}\·\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\mathrm{\ωr}\left(t\right)\\ -\mathrm{\λf}\·\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\·\mathrm{\ωr}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}L1s+M& 0\\ 0& L1s+M\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{I\α}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{I\β}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(60\right)$

现在可以将公式60代入公式10以形成完整的电压方程。

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{V\α}\left(t\right)\\ \mathrm{V\β}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0& R\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{I\α}\left(t\right)\\ \mathrm{I\β}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\λf}\·\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\mathrm{\ωr}\left(t\right)\\ -\mathrm{\λ}f\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\·\mathrm{\ωr}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}L1s+M& 0\\ 0& L1s+M\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{I\α}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{I\β}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(61\right)$

利用转子位置估值将公式61转换到QDr-FoR(与转子同步旋转)。首先利用公式28所述关系替换αβ变量。

$\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdr}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0& R\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Iqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\λ}f\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\mathrm{\ωr}\left(t\right)\\ -\mathrm{\λ}f\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\mathrm{\ωr}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}L1s+M& 0\\ 0& L1s+M\end{array}\right]\frac{d}{\mathrm{dt}}\left[\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Iqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]\right]---\left(62\right)$

公式62的右边最后一项如下展开：

$\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdr}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0& R\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Iqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\λ}f\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\mathrm{\ωr}\left(t\right)\\ -\mathrm{\λ}f\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\mathrm{\ωr}\left(t\right)\end{array}\right]\·\·$

$+\left[\begin{array}{cc}L1s+M& 0\\ 0& L1s+M\end{array}\right][\left[\begin{array}{cc}-\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& -\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Iqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]\mathrm{\ωr}\left(t\right)+\left[\begin{array}{cc}\cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\\ -\sin \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)& \cos \left(\mathrm{\θr}\left(t\right)\right)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{Iqr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]]---\left(63\right)$

用KQDr_αβ乘以公式63的两边得：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdr}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& 0\\ 0& R\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Iqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ -\mathrm{\λf\ωr}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& L1s+M\\ -L1s-M& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{Iqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]\mathrm{\ωr}\left(t\right)+\left[\begin{array}{cc}L1s+M& 0\\ 0& L1s+M\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{Iqr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(64\right)$

公式64可以被看作具有一个未知数。以ωr(t)作为独立变量表示公式64为：

$\left[\begin{array}{c}(L1s+M)\·\mathrm{Id}0-r\left(t\right)\\ (-L1s-M)\·\mathrm{Iqr}\left(t\right)-\mathrm{\λf}\end{array}\right]\mathrm{\ωr}\left(t\right)=\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdr}\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}R\·\mathrm{Iqr}\left(t\right)\\ R\·\mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}(L1s+M)\·\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{Iqr}\left(t\right)\\ (L1s+M)\·\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(65\right)$

以“最小二乘”法解公式65得出ωr(t)：

$\mathrm{\ωr}\left(t\right)=\mathrm{pinv}\left[\left[\begin{array}{c}(L1s+M)\·\mathrm{Idr}\left(t\right)\\ (-L1s-M)\mathrm{Iqr}\left(t\right)-\mathrm{\λf}\end{array}\right]\right][\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdr}\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}\mathrm{R\; Iqr}\left(t\right)\\ R\·\mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}(L1s+M)\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{Iqr}\left(t\right)\\ (L1s+M)\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]]---\left(66\right)$

这里pinv(X)定义为：

pinv(X)：＝(X^T·X)^-1·X^T                    (67)

从而，求出ωr(t)为：

$\mathrm{\ωr}\left(t\right)={\left[\right[{\left[\begin{array}{c}(L1s+M)\mathrm{Idr}\left(t\right)\\ (-L1s-M)\mathrm{Iqr}\left(t\right)-\mathrm{\λf}\end{array}\right]}^T{\left[\begin{array}{c}(L1s+M)\mathrm{Idr}\left(t\right)\\ (-L1s-M)\mathrm{Iqr}\left(t\right)-\mathrm{\λf}\end{array}\right]]}^{-1}\left[\begin{array}{c}(L1s+M)\mathrm{Idr}\left(t\right)\\ (-L1s-M)\·\mathrm{Iqr}\left(t\right)-\mathrm{\λf}\end{array}\right]}^T][\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqr}\left(t\right)\\ \text{Vdr}\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}\mathrm{R\; Iqr}\left(t\right)\\ \mathrm{R\; Idr}\left(t\right)\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}(L1s+M)\·\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{Iqr}\left(t\right)\\ (L1s+M)\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{Idr}\left(t\right)\end{array}\right]]---\left(68\right)$

以通常的2x1A矩阵表示pinv(X)函数为：

$\mathrm{pinv}\left(\left[\begin{array}{c}x1\\ x2\end{array}\right]\right)\→\left[\frac{x1}{{x1}^2+{x2}^2}\frac{x2}{{x1}^2+{x2}^2}\right]---\left(69\right)$

用ωr(t)替换ωv(t)，可以从公式57中推导出***在QDr FoR中的磁链控制规则。

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λqr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λdr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λf}\_\mathrm{dr}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{-R}{(L1s+M)}& -\mathrm{\ωr}\left(t\right)& \frac{R}{(L1s+M)}& 0\\ \mathrm{\ωr}\left(t\right)& \frac{-R}{(L1s+M)}& 0& \frac{R}{L1s+M}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqr}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdr}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{qr}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dr}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdr}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(70\right)$

状态变量λf_qr(t)、λf_dr(t)(磁链的磁体感生部分)及其微分是不可控的。公式70可以简化为仅含有两个可控的状态变量λqr(t)、λdr(t)及其微分，并包括λf_qr(t)、λf_dr(t)作为外部固定输入。

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λqr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λdr}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{-R}{(L1s+M)}& -\mathrm{\ωr}\left(t\right)\\ \mathrm{\ωr}\left(t\right)& \frac{-R}{(L1s+M)}\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqr}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdr}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdr}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{R}{(L1s+M)}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qr}\left(t\right)\\ \frac{R}{(L1s+M)}\·\mathrm{\λf}\_\mathrm{dr}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(71\right)$

控制输入为Vqr和Vdr。如下所示，如果Vqr(t)和Vdr(t)都含有消去项(canceling term)，则可以消除λqr(t)和λdr(t)对ωr(t)的依赖：

Vqr_tot＝Vqr_cancelling+Vqr_tracking                  (72)

Vdr_tot＝Vdr_cancelling+Vdr_tracking                  (73)

替换消去项和跟踪项(tracking term)得：

Vqr_tot＝ωr(t)·λdr(t)+Vqr_track                    (74)

Vdr_tot＝(-1)·ωr(t)λqr(t)+Vdr_track                (75)

λqr_ref和λdr_ref的选择通常依赖于电机所需的转矩。在该特定实施的特定电动机模型的QDr-FoR中，λf_qr＝λf，λf_dr＝0。以λqr、λdr、λf_qr、λf_dr表示的QDr-FoR中的转矩公式表示为：

$\mathrm{Te}=\left[\frac{3}{2\·(L1s+M)}\right]\·\frac{\mathrm{Np}}{2}(\mathrm{\λqr}\left(t\right)\·\mathrm{\λf}\_\mathrm{dr}\left(t\right)-\mathrm{\λdr}\left(t\right)\mathrm{\λf}\_\mathrm{qr}\left(t\right))---\left(76\right)$

描述QDr-FoR中的磁体感生磁链的项λf_qr和λf_dr，给出如下：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qr}\left(t\right)\\ \mathrm{\λf}\_\mathrm{dr}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λf}\\ 0\end{array}\right]---\left(77\right)$

由于λf_dr＝0，因此λqr可以取任意值，而不影响电动机在该特定实施的电动机模型的特定情况下产生的转矩。意识到这点后，当需要得到每单位安培的最大转矩时(Iqr＝0)，可以使λqr_ref与λf相等。

可以将公式77代入公式76。

$\mathrm{Te}=\left[\frac{-3}{2\·(L1s+M)}\right]\·\frac{\mathrm{Np}}{2}\·\left(\mathrm{\λdr}\left(t\right)\mathrm{\λf}\right)$

如果设计机械***为完全惯性的，则Te＝Tm＝J＊ω_dot，状态方程可以用状态矢量 $\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqr}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdr}\left(t\right)\\ \mathrm{\ωr}\_m\end{array}\right]$ 项表达，其中ωr_m为转子的机械角速度。

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λqr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λdr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\ωr}\_m\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{-R}{(L1s+M)}& -\mathrm{\ωr}\left(t\right)& 0\\ \mathrm{\ωr}\left(t\right)& \frac{-R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \left[\frac{-3}{2\·(L1s+M)J}\right]\·\frac{\mathrm{Np}}{2}\·\left(\mathrm{\λf}\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqr}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdr}\left(t\right)\\ \mathrm{\ωr}\_m\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqr}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdr}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{R}{(L1s+M)}\·\mathrm{\λf}\\ 0\\ 0\end{array}\right]---\left(79\right)$

Vqr(t)和Vdr(t)可以利用公式74、75替换：

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λqr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λdr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\ωr}\_m\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{-R}{(L1s+M)}& -\mathrm{\ωr}\left(t\right)& 0\\ \mathrm{\ωr}\left(t\right)& \frac{-R}{(L1s+M)}& 0\\ 0& \left[\frac{-3}{2(L1s+M)J}\right]\frac{\mathrm{Np}}{2}\left(\mathrm{\λf}\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqr}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdr}\left(t\right)\\ \mathrm{\ωr}\_m\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\ωr}\left(t\right)\mathrm{\λdr}\left(t\right)+\mathrm{Vqr}\_\mathrm{track}\\ (-1)\mathrm{\ωr}\left(t\right)\mathrm{\λqr}\left(t\right)+\mathrm{Vdr}\_\mathrm{track}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{R}{(L1s+M)}\mathrm{\λf}\_\mathrm{qr}\left(t\right)\\ \frac{R}{(L1s+M)}\mathrm{\λf}\_\mathrm{dr}\left(t\right)\\ 0\end{array}\right]---\left(80\right)$

简化公式80得到：

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λqr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λdr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\ωr}\_m\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{-R1}{L1s+M}& 0& 0\\ 0& \frac{-R}{L1s+M}& 0\\ 0& \left[\frac{-3}{2\·(L1s+M)J}\right]\frac{\mathrm{Np}}{2}\·\left(\mathrm{\λf}\right)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqr}\left(t\right)\\ \mathrm{\λdr}\left(t\right)\\ \mathrm{\ωr}\_m\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqr}\_\mathrm{track}\\ \mathrm{Vdr}\_\mathrm{track}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\frac{R}{(L1s+M)}\mathrm{\λf}\\ 0\\ 0\end{array}\right]---\left(81\right)$

公式81描述了一个三状态线性***。在特定实施中，上述***包含对λqr、λdr反馈的比例积分(“PI”)调节、和对ωr_m的PI调节。可以将跟踪输入(tracking input)Vqr_track和Vdr_track表示为PI反馈控制规则。

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqr}\_\mathrm{track}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdr}\_\mathrm{track}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{K\λqr}\_P(\mathrm{\λqr}\_\mathrm{ref}\left(t\right)-\mathrm{\λqr}\left(t\right))+\∫\mathrm{K\λqr}\_I(\mathrm{\λqr}\_\mathrm{ref}\left(t\right)-\mathrm{\λqr}\left(t\right))\mathrm{dt}\\ \mathrm{K\λdr}\_P\·[\mathrm{K\ωr}\_m\_P(\mathrm{\ωr}\_m\_\mathrm{ref}\left(t\right)-\mathrm{\ωr}\_m\left(t\right))+\∫\mathrm{K\ωr}\_m\_I(\mathrm{\ωr}\_m\_\mathrm{ref}\left(t\right)-\mathrm{\ωr}\_m\left(t\right))\mathrm{dt}-\mathrm{\λdr}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(82\right)$

为了求出P和I增益，可以定义两个新的状态，其表示λqr(t)和ωr_m(t)对时间的积分。

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θr}\_m\left(t\right)\\ \mathrm{\λqr}\_\mathrm{int}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\∫& \mathrm{\ωr}\_m\left(t\right)\mathrm{dt}\\ \∫& \mathrm{\λqr}\left(t\right)\mathrm{dt}\end{array}\right]---\left(83\right)$

公式82可以利用公式83重新表示为：

$\left[\begin{array}{c}\mathrm{Vqr}\_\mathrm{track}\left(t\right)\\ \mathrm{Vdr}\_\mathrm{track}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{K\λqr}\_P(\mathrm{\λqr}\_\mathrm{ref}\left(t\right)-\mathrm{\λqr}\left(t\right))+\mathrm{K\λqr}\_I\·(\mathrm{\λqr}\_\mathrm{int}\_\mathrm{ref}\left(t\right)-\mathrm{\λqr}\_\mathrm{int}\left(t\right))\\ \mathrm{K\λdr}\_P\·(\mathrm{K\ωr}\_m\_P(\mathrm{\ωr}\_m\_\mathrm{ref}\left(t\right)-\mathrm{\ωr}\_m\left(t\right))+\mathrm{K\ωr}\_m\_I(\mathrm{\θr}\_m\_\mathrm{ref}\left(t\right)-\mathrm{\θr}\_m\left(t\right))-\mathrm{\λdr}\left(t\right))\end{array}\right]---\left(84\right)$

利用公式84扩充公式81可以得到新的状态方程：

输入λqr_int_ref(t)和θr_m_ref(t)是虚拟的，其来源于(ωr_m_ref-ωr_m)和(λqr_ref-λqr)的积分部分。公式85可以分解为两个独立公式：

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λqr}\_\mathrm{int}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λqr}\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\mathrm{K\λqr}\_I& \frac{-R1}{L1s+M}-\mathrm{K\λqr}\_P\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqr}\_\mathrm{int}\left(t\right)\\ \mathrm{\λqr}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ \mathrm{K\λqr}\_I& \mathrm{K\λqr}\_P\end{array}\right]\·\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λqr}\_\mathrm{int}\_\mathrm{ref}\left(t\right)\\ \mathrm{\λqr}\_\mathrm{ref}\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ \frac{R}{(L1s+M)}\·\mathrm{\λf}\end{array}\right]---\left(86\right)$

$\left[\begin{array}{c}\frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\λdr}\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\θr}\_m\left(t\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dt}}\mathrm{\ωr}\_m\left(t\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{-R}{L1s+M}-\mathrm{K\λdr}\_P& -\mathrm{K\λdr}\_\mathrm{P\; K\ωr}\_m\_I& -\mathrm{K\λdr}\_\mathrm{P\; K\ωr}\_m\_P\\ 0& 0& 1\\ \left[\frac{-3}{2(L1s+M)J}\right]\frac{\mathrm{Np}}{2}\left(\mathrm{\λf}\right)& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\λdr}\left(t\right)\\ \mathrm{\θr}\_m\left(t\right)\\ \mathrm{\ωr}\_m\left(t\right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}\mathrm{K\λdr}\_\mathrm{P\; K\ωr}\_m\_I& \mathrm{K\λdr}\_\mathrm{P\; K\ωr}\_m\_P\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathrm{\θr}\_m\_\mathrm{ref}\left(t\right)\\ \mathrm{\ωr}\_m\_\mathrm{ref}\left(t\right)\end{array}\right]---\left(87\right)$

然后通过选择Kλqr_P、Kλqr_I、Kλdr_P、Kωr_m_P、Kωr_m_I，把控制器的设计变为配置公式86、87的极点。

上述特定实施例仅仅是示例性的，对于受益于本发明的本领域技术人员显然的是，可以以不同但等效的方式对本发明进行修改和实施。例如，可以在上述各种转换中包括谐波，从而允许用方波激励相绕组。另外，这里所示的结构或设计细节只能由下面的权利要求书的描述限制。因此，很明显，可以对上述公开的具体实施例进行变化和修改，并且所有这些变形应被认为落在本发明的范围和精神内。从而，在下面的权利要求书中给出本文请求保护的范围。

Claims (25)

1.一种控制永磁体旋转电机的方法，所述电机包括定子和相对于所述定子旋转的转子，所述定子在其中具有多个可激励相绕组，所述方法包括：

接收转子速度请求；

响应所述速度请求产生转子速度命令；

产生第一旋转参照系，其以所述命令的转子速度旋转；

接收相绕组激励反馈；

将所述相绕组激励反馈从静止参照系转换到所述第一旋转参照系；

估算实际转子位置；

产生第二旋转参照系，其与所述估算的实际转子位置同步地旋转；

将所述相绕组激励反馈从所述第一旋转参照系转换到所述第二旋转参照系；

估算实际转子速度；

计算相激励命令；以及

将所述相激励命令从所述第二旋转参照系转换到所述静止参照系。

2.如权利要求1所述的方法，还包括根据所述转子速度命令计算转子位置命令，并且其中根据所述转子位置命令产生所述第一旋转参照系。

3.如权利要求1所述的方法，其中接收相绕组激励反馈包括测量相电流。

4.如权利要求1所述的方法，还包括响应所述相激励命令激励所述相绕组。

5.如权利要求4所述的方法，其中激励所述相绕组包括将正弦波激励电流施加到所述相绕组上。

6.如权利要求1所述的方法，还包括利用三相平衡供电激励所述相绕组，其中将所述相绕组激励反馈从所述静止参照系转换到所述第一旋转参照系包括将所述相绕组激励反馈从ABC参照系转换到αβ0参照系。

7.如权利要求1所述的方法，还包括根据所述相绕组激励反馈估算总相磁链和磁体感生磁链。

8.如权利要求7所述的方法，还包括根据所述估算的磁体感生磁链估算所述实际转子位置。

9.如权利要求8所述的方法，还包括利用三相平衡供电激励所述相绕组，其中估算所述实际转子位置包括将所述估算的磁体感生磁链从所述第一旋转参照系转换到αβ0参照系。

10.如权利要求1所述的方法，其中估算所述实际转子速度包括求解两个方程以解出一个未知数。

11.一种用于包括转子和定子的永磁体旋转电机的控制***，所述控制***包括：

估值器，其用于计算转子速度的估值，所述估值器具有输入端，用于从所述永磁体旋转电机接收第一旋转参照系中的激励反馈；以及输出端，用于提供第二旋转参照系中的所述转子速度估值；以及

控制器，其具有输入端，用于接收转子速度请求和所述转子速度估值；所述控制器还具有输出端，用于提供控制信号，以响应所述转子速度请求和转子速度估值信号控制对所述永磁体旋转电机的激励。

12.如权利要求11所述的控制***，还包括功能模块，其用于将所述激励反馈从静止参照系转换到所述第一旋转参照系。

13.如权利要求12所述的控制***，其中所述控制器还包括角度控制器，其用于响应所述转子速度请求计算转子位置命令，其中所述功能模块被连接到所述控制器上以接收所述转子位置命令，并响应所述转子位置命令产生所述第一旋转参照系，使所述第一旋转参照系与所述请求的转子速度同步地旋转。

14.如权利要求13所述的控制***，其中所述估值器包括角度估值器，其用于计算转子位置估值，其中所述第二旋转参照系响应所述估算的转子位置被产生，使得所述第二旋转参照系与所述估算的转子速度和位置同步地旋转。

15.如权利要求14所述的控制***，其中所述估值器包括磁链估值器，其用于根据所述接收的激励反馈计算所述永磁体旋转电机的总相磁链和磁体感生磁链的估值，其中所述角度估值器接收所述磁体感生磁链估值，并且其中根据所述磁体感生磁链估值计算所述转子位置估值。

16.如权利要求11所述的控制***，其中所述控制器包括起动控制器，其用于产生开环控制信号，用于响应所述转子速度请求控制对所述永磁体旋转电机的激励。

17.如权利要求13所述的控制***，其中所述角度控制器还用于响应所述转子速度请求计算转子速度命令，并且其中所述控制器还包括被耦合到所述角度控制器上的起动控制器，所述起动控制器用于产生开环控制信号，用于响应所述转子速度命令控制对所述永磁体旋转电机的激励。

18.一种永磁体旋转电机***，包括：

定子，其在其中具有多个可激励相绕组；

转子，其被设置为相对于所述定子旋转；

驱动器，其被连接在所述相绕组上用于向其提供电源；

估值器，其被耦合在所述相绕组上以接收第一旋转参照系中的激励反馈，所述估值器根据所述激励反馈计算第二旋转参照系中的转子速度估值；以及

控制器，其具有用于接收转子速度请求的输入端，所述控制器被连接到所述估值器上以接收所述转子速度估值，所述控制器向所述驱动器提供控制信号，用于响应所述转子速度请求和转子速度估值信号控制施加到所述相绕组上的电源。

19.如权利要求18所述的永磁体旋转电机***，其中所述驱动器给所述相绕组提供正弦波激励电流。

20.如权利要求18所述的永磁体旋转电机***，其中所述驱动器利用三相平衡供电提供激励电流。

21.如权利要求18所述的永磁体旋转电机***，还包括功能模块，其用于将所述激励反馈从静止参照系转换到所述第一旋转参照系。

22.如权利要求21所述的永磁体旋转电机***，其中所述控制器包括角度控制器，其用于响应所述转子速度请求计算转子位置命令，并且其中所述功能模块被连接到所述控制器上以接收所述转子位置命令，并响应所述转子位置命令产生所述第一旋转参照系，使所述第一旋转参照系与所述请求的转子速度和位置同步地旋转。

23.如权利要求22所述的永磁体旋转电机***，其中所述估值器包括角度估值器，其用于计算转子位置估值，其中所述第二旋转参照系响应所述估算的转子位置而被产生，使得所述第二旋转参照系与所述估算的转子速度同步地旋转。

24.如权利要求23所述的永磁体旋转电机***，其中所述估值器包括磁链估值器，其用于根据所述激励反馈计算所述永磁体旋转电机的总相磁链和磁体感生磁链的估值，其中所述角度估值器接收所述磁体感生磁链估值，并根据所述磁体感生磁链估值计算所述转子位置估值。

25.如权利要求18所述的永磁体旋转电机***，其中所述控制器包括起动控制器，其用于产生开环控制信号，用于响应所述转子速度请求控制施加到所述相绕组上的电源。

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